Предел функции. Число А называется пределом ф-ции f(x) при х®x0, если для каждого, как угодно малого на период заданного числа e

Число А называется пределом ф-ции f(x) при х®x₀, если для каждого, как угодно малого на период заданного числа e. -e>0, найдется такое как угодно малое на период заданного d>0, что будут выполняться неравенства: Если 0<|x-x₀|<d, то |f(x)-A|<e и х!=х₀

Основные св-ва:
1.Если величина имеет предел, то только 1.

Док-во

{xn} имеет два разл. Предела a и b, а¹ b. Тогда согласно определению пределов любая из окрестностей т. а содержит все эл-ты посл-ти xn за исключением конечного числа и аналогичным св-вом обладает любая окрестность в точке b. Возьмем два радиуса e = (b-a)/2, т.к. эти окрестности не пересекаются, то одновременно они не могут содержать все эл-ты начиная с некоторого номера. Получим противоречие теор. док-на.

П р и м е р. Найти

Р е ш е н и е. Подставляя x = 3 в выражение

получим не имеющее смысла выражение . Поэтому решим по-другому:

Сокращение дроби в данном случае корректно, так как x 3,он лишь приближается к 3. Теперь мы имеем:

поскольку, если x стремится к 3, то x + 3 стремится к 6.