Теорема 3. Формула Ньютона – Лейбница

Пусть функция непрерывна на отрезке .

Функция любая из первообразных функции .

Тогда .

Доказательство. Из теоремы 2 следует, что интеграл с переменным верхним пределом является первообразной функции . Поскольку также является первообразной и две различные первообразные отличаются только на константу, то . (1)

Найдем костанту С. Положим в последнем равенстве :

. Отсюда находим значение константы . Подставив его в равенство (1), получаем

.

Полагая в этом равенстве , получаем искомую формулу .

7.2. Правило интегрирования по частям в определённом интеграле.

Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда справедлива формула интегрирования по частям

.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Обозначим через

Подставляя эти выражения в формулу интегрирования по частям, получаем

.

Пример 2. Вывести рекуррентную формулу для вычисления интеграла

.

Обозначим через

Подставляя эти выражения в формулу интегрирования по частям, получаем

.

Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством , сводим вычисление данного интеграла к таким же интегралам меньшего порядка

Отсюда находим рекуррентную формулу для вычисления искомого

интеграла .

Начальные значения интегралов для этой формулы

Пример 3. Вычислить интегралы

Применим рекуррентную формулу, выведенную в примере 2, при :

.

Учитывая, что , получаем .

Применим рекуррентную формулу, выведенную в примере 2, при :

.

Учитывая, что , получаем .

7.3. Замена переменной в определённом интеграле.

Пусть функция определена и непрерывна на отрезке .

Функция определена и непрерывна вместе со своей производной на отрезке , причем , , . Тогда справедлива формула замены переменной

, где .

Пример 1. Вычислить интеграл .

Первый способ. Перепишем подынтегральную функцию в виде

.

Этот интеграл является интегралом от дифференциального бинома

. В данном примере .

Число не является целым; число также не является целым;

число целое. Значит, исходя из общей теории, подходит подстановка .

Возводим в квадрат и выражаем подынтегральные выражения

Пересчитаем пределы интегрирования из формулы :

при ; при .

Подставляя эти выражения в первоначальный интеграл, получаем

Второй способ. В этом интеграле можно избавиться от иррациональности с помощью тригонометрической подстановки. Сделаем замену

Пересчитаем пределы интегрирования. Если , то ;

если , то . Подставляя эти значения в интеграл, получаем

.

Сделаем еще одну замену переменной .

Если , то ; если , то . Тогда

Отметим два основных отличия замены переменной в определённом интеграле от замены переменной в неопределённом интеграле:

1) надо пересчитывать пределы интегрирования;

2) не нужно возвращаться к старой переменной.

Следующий пример показывает, что формальное применение формулы замены переменной, без учета условий ее применимости, может привести к неверному результату.

Пример 2. Интеграл . Сделаем в этом интеграле замену . Тогда . Получили противоречие, так как один и тот же интеграл не может принимать два разных значения.

Это произошло потому, что при изменении переменной

новая переменная изменяется на лучах . А согласно теореме о замене переменной она должна изменяться на отрезке .

При замене переменной определенный интеграл Римана может перейти в несобственный интеграл и наоборот. Поэтому введем понятие несобственного интеграла. Позднее этот интеграл будет изучаться более подробно.

7.4. Несобственный интеграл

Интеграл Римана рассматривается от ограниченной функции на отрезке. Этот интеграл можно обобщить в двух направлениях: сделать неограниченным промежуток или функцию неограниченной.

Несобственный интеграл первого рода – это интеграл по неограниченому промежутку. Пусть функция интегрируема по Риману в собственном смысле на любом отрезке при всяком значении . Несобственным интегралом от функции по лучу называется следующий предел от определенного интеграла

.

Возможны следующие случаи. Если предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится.

Если же предел равен бесконечности или вообще не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Пример 1. Исследовать на сходимость в зависимости от параметра несобственный интеграл .

Рассмотрим сначала случай, когда .Тогда

.

В этом случае интеграл расходится.

Пусть теперь . Тогда

Итак, сходится при и расходится при .

Это важный интеграл, он широко используется при исследовании на сходимость других несобственных интегралов, а также в теории рядов.

Пример 2. Исследовать на сходимость несобственный интеграл .

Запишем несобственный интеграл по определению

.

Полученный предел не существует, следовательно, интеграл расходится.