Вычисление длины дуги

Рассмотрим общий случай, когда кривая задана параметрическими уравнениями

.

Обозначим через переменную длину дуги на отрезке .

Известна формула для дифференциала длины дуги

. Отсюда длина дуги, соответствующая изменению параметра на отрезке , вычисляется по формуле

(8.1)

Пример. Найти длину одной арки циклоиды.

Циклоида – это траектория фиксированной точки, находящейся на ободе колеса, катящегося без проскальзывания. Параметрические уравнения циклоиды

Одна арка задается изменением параметра . Найдем производные координатных функций: .

Упростим подынтегральное выражение в формуле для вычисления длины дуги

Подставляя в формулу и вычисляя интеграл, получаем:

.