Длина дуги кривой, заданной в полярных координатах

Рассмотрим случай, когда кривая задана в полярных координатах уравнением

.

В этом случае в качестве параметра можно взять переменную .

Найдем параметрические выражения для координатных функций.

Связь декартовых координат с полярными задается формулами

Известно, что длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, вычисляется по формуле .

Вычислим производные координатных функций

Подставим их в подкоренное выражение и упростим его

Подставляя это выражение в формулу длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, получаем формулу длины дуги, заданной

в полярных координатах

.

Пример. Пусть по внешней части колеса радиуса движется колесо меньшего радиуса . Точка, зафиксированная на ободе колеса меньшего радиуса, будет описывать линию, называемую эпициклоидой.

Если , то такая эпициклоида называется

кардиоидой. Уравнение кардиоиды в полярных координатах .

Так как кривая симметрична относительно оси OX, то можно найти длину половины кривой, расположенную выше оси OX. Формула длины дуги в полярных координатах

.

Вычислим производную и упростим подкоренное выражение

Подставляя в формулу, находим половину длины кривой

.

Тогда длина всей кардиоиды .