2015-05-05
1261
Рассмотрим часто встречающийся случай, когда плоская кривая задана явно уравнением 
В этом случае можно в качестве параметра взять переменную 
. Подставляя уравнения 
в формулу (8.1) длины дуги параметрически заданной кривой, и заменяя 
на , получаем:
Пример. Пусть по внутренней частиобруча большого радиуса 
движется колесо меньшего радиуса 
. Точка, отмеченная на ободе колеса меньшего радиуса, будет описывать линию, называемую гипоциклоидой. Если 
, то такая гипоциклоида называется астроидой. Уравнение астроиды 
.
Найдем длину астроиды. Поскольку эта кривая симметрична относительно осей 
и 
, то будем искать длину 
части кривой, находящейся в первой четверти. Она задается уравнением 
, 
. Сделаем необходимые вычисления
; 
.
Подставив это выражение в формулу для вычисления длины дуги, найдем длину части кривой, лежащей в первой четверти
.
Длина всей астроиды 
.
