Теорема (критерий квадрируемости)

Плоская фигура D квадрируема тогда и только тогда, когда для любого сколь угодно малого найдутся многоугольники и , такие, что и .

Доказательство.

Необходимость. Пусть фигура квадрируема, то есть . Зафиксируем . По определению точной верхней грани для найдется вписанный многоугольник , такой, что и .

По определению точной нижней грани для найдется описанный многоугольник , такой, что и .

Тогда разность площадей описанного и вписанного многоугольников

.

Достаточность. Пусть нашлись многоугольники такие, что и . Из определения точных верхней и нижней граней следует оценка .

Так как - сколь угодно мало, то и совпадают, следовательно, фигура квадрируема.

Теорема 1. Криволинейная трапеция, то есть фигура , ограниченная линиями , , , , где – непрерывна на отрезке и , является квадрируемой фигурой и ее площадь находится по формуле .

Доказательство. Зафиксируем . Так как – непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке и существует .

Тогда по критерию интегрируемости

такое что .

Величина верхней суммы Дарбу равна площади ступенчатой фигуры , описанной вокруг криволинейной трапеции G.

Величина нижней суммы Дарбу равна площади ступенчатой фигуры , вписанной в криволинейную трапецию G.

Так как нашли многоугольники такие, что и ,

то по критерию квадрируемости криволинейная трапеция G является квадрируемой фигурой.

Для оценки площади криволинейной трапеции справедливы неравенства

. Учитывая, что и ,

получаем формулу .