2015-05-05
4111
1) Пусть плоская фигура представляет собой криволинейную трапецию
то есть фигуру, ограниченную линиями 
, 
, 
, 
, где 
– непрерывна на отрезке 
и 
. Тогда ее площадь находится по формуле 
.
2) Пусть фигуру можно разбить на две криволинейные трапеции: под графиком на отрезке и под графиком 
на отрезке 
. Тогда ее площадь вычисляется по формуле
.
Пример. Вычислить площадь сектора с углом 
и радиусом 
.
Расположим сектор на координатной плоскости так, чтобы его вершина находилась с начале координат, и один из его радиусов лежал в положительной части оси 
. Тогда сектор можно разбить на две криволинейные трапеции, соответственно его площадь 
.
Здесь первое слагаемое является площадью криволинейной трапеции под графиком линейной функции 
и вычисляется по формуле
.
Второе слагаемое представляет собой площадь под дугой окружности, задаваемой уравнением 
. Вычислим эту площадь:
.
Сделаем в интеграле замену переменной 
.
Пересчитаем пределы интегрирования: при 
; при
. Подставляя 
в интеграл, получаем
Складывая две вычисленные площади, находим площадь сектора
.
3) Пусть плоская фигура ограничена: сверху - графиком функции , 
; снизу - графиком функции , ; по бокам - вертикальными отрезками и , которые могут вырождаться в точку. Тогда площадь этой фигуры равна разности площадей соответствующих криволинейных трапеций и вычисляется по формуле
.
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
и 
.
Найдем сначала абсциссы точек пересечения графиков данных функций. Для этого решаем систему уравнений
Отсюда находим 
. Искомая площадь вычисляется по формуле
.
