1) Пусть плоская фигура представляет собой криволинейную трапецию
то есть фигуру, ограниченную линиями , , , , где – непрерывна на отрезке и . Тогда ее площадь находится по формуле .
2) Пусть фигуру можно разбить на две криволинейные трапеции: под графиком на отрезке и под графиком на отрезке . Тогда ее площадь вычисляется по формуле
.
Пример. Вычислить площадь сектора с углом и радиусом .
Расположим сектор на координатной плоскости так, чтобы его вершина находилась с начале координат, и один из его радиусов лежал в положительной части оси . Тогда сектор можно разбить на две криволинейные трапеции, соответственно его площадь .
Здесь первое слагаемое является площадью криволинейной трапеции под графиком линейной функции и вычисляется по формуле
.
Второе слагаемое представляет собой площадь под дугой окружности, задаваемой уравнением . Вычислим эту площадь:
.
Сделаем в интеграле замену переменной .
Пересчитаем пределы интегрирования: при ; при
. Подставляя в интеграл, получаем
|
|
Складывая две вычисленные площади, находим площадь сектора
.
3) Пусть плоская фигура ограничена: сверху - графиком функции , ; снизу - графиком функции , ; по бокам - вертикальными отрезками и , которые могут вырождаться в точку. Тогда площадь этой фигуры равна разности площадей соответствующих криволинейных трапеций и вычисляется по формуле
.
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и .
Найдем сначала абсциссы точек пересечения графиков данных функций. Для этого решаем систему уравнений
Отсюда находим . Искомая площадь вычисляется по формуле
.