Площадь плоской фигуры в декартовых координатах

1) Пусть плоская фигура представляет собой криволинейную трапецию

то есть фигуру, ограниченную линиями , , , , где – непрерывна на отрезке и . Тогда ее площадь находится по формуле .

2) Пусть фигуру можно разбить на две криволинейные трапеции: под графиком на отрезке и под графиком на отрезке . Тогда ее площадь вычисляется по формуле

Пример. Вычислить площадь сектора с углом и радиусом .

Расположим сектор на координатной плоскости так, чтобы его вершина находилась с начале координат, и один из его радиусов лежал в положительной части оси . Тогда сектор можно разбить на две криволинейные трапеции, соответственно его площадь .

Здесь первое слагаемое является площадью криволинейной трапеции под графиком линейной функции и вычисляется по формуле

Второе слагаемое представляет собой площадь под дугой окружности, задаваемой уравнением . Вычислим эту площадь:

Сделаем в интеграле замену переменной .

Пересчитаем пределы интегрирования: при ; при

. Подставляя в интеграл, получаем

Складывая две вычисленные площади, находим площадь сектора

3) Пусть плоская фигура ограничена: сверху - графиком функции , ; снизу - графиком функции , ; по бокам - вертикальными отрезками и , которые могут вырождаться в точку. Тогда площадь этой фигуры равна разности площадей соответствующих криволинейных трапеций и вычисляется по формуле