Определенный интеграл. Критерий интегрируемости

Оглавление

Определенный интеграл. Критерий интегрируемости 1

Понятие определенного интеграла 2

А) Вычисление площади криволинейной трапеции 2

B) Вычисление пути по заданной скорости 3

Определение определенного интеграла 4

Ограниченность интегрируемой функции 5

Суммы Дарбу и их свойства 6

Необходимое и достаточное условие интегрируемости 8

Вычисление определенных интегралов 8

А) Формула Ньютона-Лейбница 8

B) Интегрирование по частям 10

C) Замена переменной 11

Длина дуги 13

А) Декартовы координаты 13

B) Параметрическое задание кривой 14

C) Полярные координаты 15

Площадь плоской фигуры 17

А) Декартовы координаты 17

B) Параметрическое задание кривой 20

C) Полярные координаты 21

Вычисление объемов 23

A) Объём ступенчатой фигуры 23

B) Объём тела вращении 25

Механические и физические задачи 29

Определенный интеграл. Критерий интегрируемости

Интеграл (от латинского слова integer- целый), одно из важнейших понятий математики. Возникновение интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками Древней Греции. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный Евдоксом Книдским и широко применявшийся Архимедом. Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приемов. Лишь в 16 и 17 веках развитие естественных наук поставило перед математикой ряд новых задач, в частности задачи на нахождения квадратур, кубатур и определение центров тяжести. Античный метод был возрожден И. Кеплером. В более общей форме эти методы были развиты Б. Кавальери, Э. Торричелли, Дж. Валлисом, Б. Паскалем.

В итоге этих исследований выявилась общность приемов интегрирования при решении внешне несходных задач геометрии и механики. Заключительным звеном в цепи открытий этого периода было установление обратной связи между дифференцированием и интегрированием. Основные понятия и алгоритм интегрального исчисления были созданы независимо друг от друга И.Ньютоном и Г.Лейбницем. Последнему принадлежит термин “интегральное исчисление” и обозначение интеграла . При этом в работах Ньютона основную роль играло понятие неопределенного интеграла, тогда как Лейбниц исходил из понятия определенного интеграла. В конце 19 − начале 20 века развитие теории множеств и теории функций привело к углублению и обобщению понятия интеграла благодаря работам О.Коши, Б.Римана, А.Лебега. С помощью интегрального исчисления стало возможным решать единым методом многие теоретические и прикладные задачи.

Чтобы подойти к понятию определенного интеграла, рассмотрим некоторые геометрические и физические задачи.