Несобственные интегралы от неограниченных функций

Пусть функция непрерывна на конечном промежутке , но не ограничена на этом промежутке.

Определение. Несобственным интегралом от функции у=f(x) на промежутке называется предел , т.е.

. (15)

Если предел, стоящий в правой части равенства (15) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Интеграл (15) иногда называют несобственным интегралом второго рода.

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла от функции непрерывной, но не ограниченной на промежутке :

. (16)

Если функция не ограничена при , где , и непрерывна при и , то несобственный интеграл от функции у=f(x) на отрезке обозначается и определяется равенством

. (17)

Несобственный интеграл (17) называется сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла в правой части равенства (17).
В противном случае данный интеграл называется расходящимся.

Пример 17. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:

а) ; б) .

Решение: а) данный интеграл является интегралом от неограниченной функции (подынтегральная функция не определена в точке , при эта функция неограниченно возрастает).