Рассеяние рентгеновских лучей кристаллом

Рассмотрим электромагнитную волну, в поле которой находится свободный электрон. Движение нерелятивистского электрона определяется главным образом электрическим полем волны: если скорость электрона мала по сравнению со скоростью света, влиянием магнитного поля можно пренебречь. Переменное электрическое поле раскачивает электрон, который из-за этого сам излучает электромагнитные волны. Эти волны называются рассеянными: часть энергии падающей волны переизлучается электроном. Свободный электрон рассеивает волны во всех направлениях, кроме направления своих колебаний: зависимость мощности излучения от угла пропорциональна sin² θ (θ отсчитывается от направления колебаний электрона). Диаграмма направленности излучения, рассеянного электроном, изображена на рис. 4.

Рис. 4.

Иная картина наблюдается при рассеянии электромагнитных волн кристаллом в том случае, когда длина волны излучения сравнима с межатомными расстояниями в кристалле, т. е. с постоянной решетки. Такими длинами волн обладает излучение рентгеновского диапазона. Кристалл, в зависимости от длины волны падающего излучения, либо практически не рассеивает это излучение, либо рассеивает его только в определенных направлениях.

Объясняется это тем, что волны, рассеянные разными участками кристалла складываются, т. е. происходит интерференция волн. Вследствие периодичности кристаллической структуры для большинства направлений рассеяния эта интерференция носит деструктивный характер: рассеянные волны гасят друг друга. И лишь в некоторых выделенных направлениях волны складываются в фазе, т. е. усиливают друг друга.

Посмотрим, какой ток возникает в кристалле при облучении его электромагнитной волной рентгеновского диапазона. Частота рентгеновской волны намного выше всех характерных электронных частот в кристалле, поэтому электроны в поле волны ведут себя как свободные. Если падающая волна имеет частоту ω ₀, то и ток ведет себя как гармоническая функция времени с частотой ω ₀.

Амплитуда плотности тока в точке пропорциональна произведению амплитуды электрического поля в этой точке на плотность электронов .

Будем считать, что влиянием рассеянных волн на электроны можно пренебречь и их движение определяется только первичной падающей волной . Тогда для плотности тока имеем:

(37)

Здесь — волновой вектор падающей волны, .

Концентрация электронов , как периодическая функция с трансляционной симметрией кристалла, раскладывается в ряд Фурье по векторам обратной решетки кристалла:

(38)

Для плотности тока получаем:

(39)

Итак в разложении плотности тока, а, следовательно, и в разложении Фурье создаваемого им электромагнитного поля, присутствуют только компоненты Фурье с волновыми векторами .

Таким образом, волновой вектор рассеянной волны может отличаться от волнового вектора падающей волны только на произвольный вектор обратной решетки.

Дадим квантовую интерпретацию этого явления. Плоской электромагнитной волне соответствует квазичастица — фотон. Импульс фотона, как и импульс любой квазичастицы, равен , а энергия — ħ ω.

Импульс фотона при рассеянии на кристалле может изменяться на величину . Дискретный набор векторов — это дискретный набор импульсов, которые идеальная кристаллическая решетка может передать фотону при рассеянии. И не только фотону, а любой квазичастице, рассеивающейся на идеальном кристалле.

Найдем теперь множество волновых векторов фотонов, для которых разрешено рассеяние на кристалле.

В этом разделе мы изучаем упругое рассеяние. Это означает, что энергия рассеянного фотона должна быть равна энергии падающего. С волновой точки зрения, частота рассеянной волны должна быть равна частоте падающей. Закон дисперсии электромагнитной волны гласит: ω = ck. Следовательно, при упругом рассеянии не может измениться длина волнового вектора: k = k ₀. Выясним теперь, при каких условия это равенство совместимо с условием рассеяния . Другими словами, выясним, каким должен быть волновой вектор , чтобы волна могла куда-нибудь рассеяться. Для этого возведем равенство в квадрат, учитывая, что k ² = k ₀². В результате получим:

(40)

Упругое рассеяние волны с волновым вектором возможно, только если найдется такой вектор обратной решетки , при котором будет удовлетворяться это равенство.

Математическое отступление. Рассмотрим плоскость в трехмерном пространстве, не проходящую через начало координат. Проведем нормаль к этой плоскости.

Очевидно, что все радиус-векторы, концы которых лежит на плоскости, имеют одинаковую проекцию на ее нормаль. Эта проекция равна расстоянию p от начала координат до плоскости. В векторной форме это утверждение можно записать в виде:

(41)

где — радиус-вектор нормали.

Итак, уравнение вида определяет геометрическое место точек плоскости. Плоскость проходит через точку, заданную радиус вектором , перпендикулярно этому радиус-вектору.

Таким образом, уравнение (40) — это уравнение плоскости в k -пространстве. Роль вектора-нормали , через конец которого проведена плоскость, играет при этом вектор . Поскольку — любой вектор обратной решетки, вместо можно писать . Геометрическое место концов волновых векторов рассеивающихся волн — это совокупность плоскостей, перпендикулярных направлениям OB и лежащих на расстоянии B /2 от начала координат O (см. рис. 5). Волновые вектора , не кончающиеся на этих плоскостях, соответствуют волнам, которые проходят через кристалл, не рассеиваясь упруго.

Рис. 5.

Совместим один из узлов обратной решетки с началом координат в k -пространстве. Для каждого вектора обратной решетки, соединяющего этот узел (начало координат) с другим узлом, построим плоскость, перпендикулярную этому вектору и проходящую через его середину. Объединение таких плоскостей и образует множество ''рассеивающихся'' волновых векторов: волна рассеивается, если конец ее волнового вектора лежит на какой-либо плоскости.