Построение Эвальда

Выше мы нашли условие, при котором рентгеновская волна рассеивается кристаллом: ее волновой вектор должен лежать на границе какой-либо зоны Бриллюэна. Алгебраически это условие записывается в форме (40).

Если волна рассеивается, то возникает вопрос: в каких направлениях происходит рассеяние? Мы выяснили, что волновой вектор рассеянной волны может отличаться от волнового вектора падающей волны только на произвольный вектор обратной решетки кристалла. При этом длины волновых векторов падающей и рассеянной волн равны: k = k ₀ (т. к. частота рассеянной волны должна быть равна частоте падающей).

Рис. 9. Построение Эвальда.

— волновой вектор падающей волны,

— волновой вектор одной из рассеянных волн,

— вектор обратной решетки.

Найти направления рассеяния, определяемые этими условиями, можно графически.

Совместим конец волнового вектора падающей волны с узлом обратной решетки (рис. 9). Изобразим в обратном пространстве сферу радиуса k ₀ с центром в точке O — начале вектора . Множество векторов, соединяющих точку O с точками, лежащими на поверхности сферы — это множество волновых векторов , удовлетворяющих условию упругого рассеяния, k = k ₀. Но рассеянным волнам соответствуют лишь те из этих векторов, для которых выполняется второе условие рассеяния: они должны отличаться от на произвольный вектор обратной решетки. Вектор обратной решетки — это вектор, соединяющий два некоторых узла обратной решетки. Поскольку конец вектора совмещен с узлом обратной решетки, то и конец волнового вектора рассеянной волны должен совпадать с некоторым узлом обратной решетки и лежать при этом на поверхности сферы. Таким образом, волновые вектора рассеянных волн — это вектора, соединяющие точку O с узлами обратной решетки, лежащими на сфере.

Если волновой вектор падающей волны не удовлетворяет условию рассеяния (40), т. е. не лежит на границе некоторой зоны Бриллюэна, то сфера не пересекается с узлами обратной решетки, за исключением конца вектора , и рассеяния не происходит.

Проведенное графическое построение называется построением Эвальда.

……………………………….

Первая зона Бриллюэна для простой кубической и гексагональной решёток

Зона Бриллюэна — отображение ячейки Вигнера-Зейтца в обратном пространстве. В приближении волн Блоха волновая функция для периодического твёрдого тела полностью описывается её поведением в первой зоне Бриллюэна.

Первая зона Бриллюэна (часто называемая просто зоной Бриллюэна) может быть построена как объём, ограниченный плоскостями, которые отстоят на равные расстояния от рассматриваемого узла обратной решётки до соседних узлов. Альтернативное определение следующее: зона Бриллюэна — множество точек в обратном пространстве, которых можно достигнуть из данного узла, не пересекая ни одной брэгговской плоскости.

Аналогичным образом можно получить вторую, третью и последующие зоны Бриллюэна. n-я зона Бриллюэна — это множество точек, которые можно достигнуть из данного узла, пересекая n-1 брэгговскую плоскость.

[править] Характерные точки зоны Бриллюэна

Первая зона Бриллюэна кубической гранецентрированной решётки

Определённые точки высокой симметрии в зоне Бриллюэна получили специальные обозначения. Центр зоны Бриллюэна, то есть точка с нулевым значением квазиимпульса, обозначается греческой буквой Γ. Если электронные зоны в зонной структуре кристалла пронумерованы, то к букве добавляют индекс, который соответствует номеру зоны: Γ_1, Γ_{2 и} т.д.

Точки на краю зоны Бриллюэна обозначаются латинскими буквами (X, L и т. д.), А прямые, которые ведут к ним, греческими буквами (Δ, Λ и т. д.). Конкретные обозначения зависят от строения зоны Бриллюэна для данной кристаллической решётки.

[править] Примеры

На рисунке справа показана первая зона Бриллюэна для кубической гранецентрированной решётки с характерными обозначениями точек в ней. Красным цветом выделен участок, повторением которого с учётом симметрии, можно заполнить всю зону. Характерные точки

Γ — в центре зоны Бриллюэна.
X — в середине малого квадрата. Линия, которая ведет от Γ к X обозначается буквой Δ.
L — в середине большого шестигранника. Линия, которая ведет от Γ к L обозначается Λ.
K — на середине стороны шестигранника. Линия, которая ведет от Γ к K обозначается Σ.

Для кубической объёмноцентрированной решётки решетки первая зона Бриллюэна представляет собой ромбододекаэдр (см.ниже).

[править] Интересные особенности

Несмотря на кажущуюся "математичность" и оторванность от реальной жизни данного понятия, зона Бриллюэна играет важнейшую роль в физике твёрдого тела:

В дифракции излучения: на кристаллической решётке дифрагируют только те лучи, волновой вектор которых оканчивается на границе зоны Бриллюэна.
Вследствие существования периодичности кристаллической решётки и конкретно зоны Бриллюэна в кристалле возникают запрещённые и разрешённые энергетические состояния (см. зонная теория). Возникновение запрещённых зон связано с тем, что для электронных волн определённых длин на границе зоны Бриллюэна возникает условие брэгговского отражения, и электронная волна отражается от границы зоны. Физически это равносильно тому, что возникает стоячая волна, и, следовательно, групповая скорость данной электронной волны равна нулю. Таким образом возникает интервал запрещённых частот (энергий).