СМО с ожиданием (очередью)

В качестве показателей эффективности СМО с ожиданием, кроме уже известных показателей — абсолютной А и относительной Q пропускной способности, вероятности отказа P_отк., среднего числа занятых каналов (для многоканальной системы) будем рассматривать также следующие: L_сист. - среднее число заявок системе; Т_сист. — среднее время пребывания заявки в системе; L_оч. — среднее число заявок в очереди (длина очереди); Т_оч. — среднее время пребывания заявки в очереди; Р_зан.. — вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала).

Одноканальная система с неограниченной очередью. На практике часто встречаются одноканальные СМО с неограниченной очередью (например, телефон-автомат с одной будкой).

Рассмотрим задачу.

Имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложены никакие ограничения (ни по длине очереди, ни по времени ожидания). Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность λ, а поток обслуживании — интенсивность μ. Необходимо найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности СМО.
Система может находиться в одном из состояний S₀, S₁, S₂, …, S_k,по числу заявок, находящихся в СМО: S₀ — канал свободен; S₁ — канал занят (обслуживает заявку), очереди нет, S₂ — канал занят, одна заявка стоит в очереди;... S_k — канал занят, (k—1)заявок стоят в очереди и т.д.

Граф состояний СМО представлен на рис. 8.

Рис. 8

Это процесс гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний, в котором интенсивность потока заявок равна λ, а интенсивность потока обслуживании μ.
Прежде чем записать формулы предельных вероятностей, необходимо быть уверенным в их существовании, ведь в случае, когда время t→∞, очередь может неограниченно возрастать. Доказано, что если ρ<1, т.е. среднее число приходящих заявок меньше среднего числа обслуженных заявок (в единицу времени), то предельные вероятности существуют. Если ρ≥1, очередь растет до бесконечности.
Для определения предельных вероятностей состояний воспользуемся формулами (16), (17) для процесса гибели и размножении (здесь мы допускаем известную нестрогость, так как ранее эти формулы были получены для случая конечного числа состояний системы). Получим (32)

где, ρ = λ/μ

Так как предельные вероятности существуют лишь при ρ < 1, то геометрический ряд со знаменателем
ρ < 1, записанный в скобках в формуле (32), сходится к сумме, равной . Поэтому
(33)
и с учетом соотношений (17)

найдем предельные вероятности других состояний
(34)
Предельные вероятности p₀, p₁, p₂, …, p_k,… образуют убывающую геометрическую профессию со знаменателем ρ < 1, следовательно, вероятность р₀ — наибольшая. Это означает, что если СМО справляется с потоком заявок (при ρ < 1), то наиболее вероятным будет отсутствие заявок в системе.

Среднее число заявок в системе L_сист. определим по формуле математического ожидания, которая с учетом (34) примет вид

(35)

(суммирование от 1 до ∞, так как нулевой член 0p₀=0).

Можно показать, что формула (35) преобразуется (при ρ < 1) к виду
(36)
Найдем среднее число заявок в очереди L_оч. Очевидно, что
(37)
где L_об. — среднее число заявок, находящихся под обслуживанием.

Среднее число заявок под обслуживанием определим по формуле математического ожидания числа заявок под обслуживанием, принимающего значения 0 (если канал свободен) либо 1 (если канал занят):

т.е. среднее число заявок под обслуживанием равно вероятности того, что канал занят:
(38)
В силу (33)

(39)
Теперь по формуле (37) с учетом (36) и (39)

(40)
Доказано, что при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе (очереди) равна среднему числу заявок в системе (в очереди), деленному на интенсивность потока заявок, т.е.

(41)
(42)

Формулы (41) и (42) называются формулами Литтла. Они вытекают из того, что в предельном, стационарном режиме среднее число заявок, прибывающих в систему, равно среднему числу заявок, покидающих ее: оба потока заявок имеют одну и ту же интенсивность λ.

На основании формул (41) и (42) с учетом (36) и (40) среднее время пребывания заявки в системе определится по формуле:

(43)

а среднее время пребывания заявки в очереди

(44)

Многоканальная СМО с неограниченной очередью. Рассмотрим задачу. Имеется n-канальная СМО с неограниченной очередью. Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность λ, а поток обслуживании — интенсивность μ. Необходимо найти предельные вероятности состояний СМО и показатели ее эффективности.
Система может находиться в одном из состояний S₀, S₁, S₂,…, S_k,…, S_n,…,— нумеруемых по числу заявок, находящихся в СМО: S₀ — в системе нет заявок (все каналы свободны); S₁ — занят один канал, остальные свободны; S₂— заняты два канала, остальные свободны;..., S_k — занято k каналов, остальные свободны;..., S_n— заняты все n каналов (очереди нет); S_n+1— заняты все n каналов, в очереди одна заявка;..., S_n+r— заняты все n каналов, r заявок стоит в очереди,....

Граф состояний системы показан на рис. 9. Обратим внимание на то, что в отличие от предыдущей СМО, интенсивность потока обслуживаний (переводящего систему из одного состояния в другое справа налево) не остается постоянной, а по мере увеличения числа заявок в СМО от 0 до n увеличивается от величины m до nm, так как соответственно увеличивается число каналов обслуживания. При числе заявок в СМО большем, чем n, интенсивность потока обслуживании сохраняется равной nm.

Рис. 9

Можно показать, что при r/n < 1 предельные вероятности существуют. Если r/n ≥ 1, очередь растет до бесконечности. Используя формулы (16) и (17) для процесса гибели и размножения, можно получить следующие формулы для предельных вероятностей состояний n-канальной СМО с неограниченной очередью
(45)
(46)
(47)
Вероятность того, что заявка окажется в очереди,
(48)
Для n-канальной СМО с неограниченной очередью, используя прежние приемы, можно найти:
среднее число занятых каналов

(49)
среднее число заявок в очереди

(50)
среднее число заявок в системе

(51)
Среднее время пребывания заявки в очереди и среднее время пребывания заявки в системе, как и ранее, находятся по формулам Литтла (42) и (41).
Замечание. Для СМО с неограниченной очередью при r < 1 любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т.е. вероятность отказа P_отк = 0, относительная пропускная способность Q = 1, а абсолютная пропускная способность равна интенсивности входящего потока заявок, т.е. А = l.