2015-05-06
769
Модель обслуживания машинного парка представляет собой модель замкнутой системы массового обслуживания.
До сих пор мы рассматривали только такие системы массового обслуживания, для которых интенсивность λ входящего потока заявок не зависит от состояния системы. В этом случае источник заявок является внешним по отношению к СМО и генерирует неограниченный поток требований. Рассмотрим системы массового обслуживания, для которых λ зависит от состояния системы, причем источник требований является внутренним и генерирует ограниченный поток заявок.
Например, обслуживается машинный парк, состоящий из N машин, бригадой R механиков (N > R), причем каждая машина может обслуживаться только одним механиком. Здесь машины являются источниками требований (заявок на обслуживание), а механики - обслуживающими каналами. Неисправная машина после обслуживания используется по своему прямому назначению и становится потенциальным источником возникновения требований на обслуживание. Очевидно, что интенсивность λ зависит от того, сколько машин в данный момент находится в эксплуатации (N - к) и сколько машин обслуживается или стоит в очереди, ожидая обслуживания (к).
|
|
|
В рассматриваемой модели емкость источника требований следует считать ограниченной. Входящий поток требований исходит из ограниченного числа эксплуатируемых машин (N - k), которые в случайные моменты времени выходят из строя и требуют обслуживания. При этом каждая машина из (N-k) находится в эксплуатации. Генерирует пуассоновский поток требований с интенсивностью λ независимо от других объектов; общий (суммарный) входящий поток имеет интенсивность (N - к)λ.
Требование, поступившее в систему в момент, когда свободен хотя бы один канал, немедленно идет на обслуживание. Если требование застает все каналы занятыми обслуживанием других требований, то оно не покидает систему, а становится в очередь и ждет, пока один из каналов не станет свободным.
Таким образом, в замкнутой системе массового обслуживания входящий поток требований формируется из выходящего.
Состояние Sk системы характеризуется общим числом требований, находящихся на обслуживании и в очереди, равным к. Для рассматриваемой замкнутой системы, очевидно, k = 0, 1, 2,..., N. При этом, если система находится в состоянии Sk, то число объектов, находящихся в эксплуатации, равно (N - k).
Если λ - интенсивность потока требований в расчете на одну машину, то
(73)
(74)
Система алгебраических уравнений, описывающих работу замкнутой СМО в стационарном режиме, выглядит следующим образом:
(75)
Решая данную систему, находим вероятность k -го состояния:
|
|
|
Величина P0 определяется из условия нормирования полученных результатов по формулам (76) для Pk, k=1,2,3,...,N.
Определим следующие вероятностные характеристики системы:
1. Среднее число требований в очереди на обслуживание
2. Среднее число требований, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди)
Среднее число механиков (каналов), простаивающих из-за отсутствия работы
3. Коэффициент простоя обслуживаемого объекта (машины) в очереди
4. Коэффициент использования объектов (машин)
5. Коэффициент простоя обслуживающих каналов (механиков)
6. Среднее время ожидания обслуживания (время ожидания обслуживания в очереди)
Пример 3.6. Пусть для обслуживания десяти персональных компьютеров (ПК) выделено два инженера одинаковой производительности. Поток отказов (неисправностей) одного компьютера - пуассоновский с интенсивностью λ= 0,2. Время обслуживания ПК подчиняется показательному закону.
Среднее время обслуживания одного ПК одним инженером составляет: 
=1,25 час.
Возможны следующие варианты организации обслуживания ПК:
1) оба инженера обслуживают все десять компьютеров, так что при отказе ПК его обслуживает один из свободных инженеров, в этом случае R =2, N =10;
2) каждый из двух инженеров обслуживает по пять закрепленных за ним ПК. В этом случае R =1, N =5.
Необходимо выбрать наилучший вариант организации обслуживания ПК.
Решение
1. Вычислим параметр обслуживания
2. Приведенная интенсивность
3. Вычислим вероятностные характеристики СМО для двух вариантов организации обслуживания ПК.
Вариант 1:
Определим вероятности состояний системы:
Определим среднее число компьютеров в очереди на обслуживание:
Определим среднее число ПК, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди):
Определим среднее число инженеров, простаивающих из-за отсутствия работы:
Коэффициент простоя персонального компьютера в очереди следующий:
Коэффициент использования компьютеров определяется по формуле
Коэффициент простоя обслуживающих инженеров рассчитывается так:
Таким образом, в варианте 1 каждый компьютер стоит в очереди в ожидании начала его обслуживания приблизительно 0,142 части рабочего времени, что меньше этого показателя при варианте 2 организации работ. Далее в варианте 1 вероятность того, что ПК в любой момент времени будет работать выше, чем в варианте 2, и равна а12 = 0,689 > ά22 = 0,64. Очевидно, вариант 1 организации работ по обслуживанию ПК эффективнее, чем вариант 2.
