Система Эрланга

В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать:

А — абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

Q — относительную пропускную способность, т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;

P_отк. — вероятность отказа, т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной;

— среднее число занятых каналов (для многоканальной системы).

Одноканальная система с отказами. Рассмотрим задачу.
Имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживаний имеет интенсивность μ₁. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.
Система S (СМО) имеет два состояния: S₀ — канал свободен, S₁ — канал занят. Размеченный граф состояний представлен на рис. 11.

Рис. 11

В предельном, стационарном режиме система алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид.
(59)
т.е. система вырождается в одно уравнение. Учитывая нормировочное условие p₀+p₁=1, найдем из (59) предельные вероятности состояний

(60)
которые выражают среднее относительное время пребывания системы в состоянии S₀ (когда канал свободен) и S₁ (когда канал занят), т.е. определяют соответственно относительную пропускную способность Q системы и вероятность отказа P_отк:
(61)
(62)
Абсолютную пропускную способность найдем, умножив относительную пропускную способность Q на интенсивность потока отказов
(63)

Задача 5. Известно, что заявки на телефонные переговоры в телевизионном ателье поступают с интенсивностью λ, равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефону _об.=2 мин. Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера.
Решение.

Имеем λ=90 (1/ч), _об.=2 мин.

Интенсивность потока обслуживании μ=1/ _об=1/2=0,5 (1/мин)=30 (1/ч).

По (61) относительная пропускная способность СМО: Q=30/(90+30)=0,25, т.е. в среднем только 25% поступающих заявок осуществят переговоры по телефону. Соответственно вероятность отказа в обслуживании составит Р_отк.=0,75 (см. (62)). Абсолютная пропускная способность СМО по (63), A=90∙0,25=22,5, т.е. в среднем в час будут обслужены 22,5 заявки на переговоры. Очевидно, что при наличии только одного телефонного номера СМО будет плохо справляться с потоком заявок.

Многоканальная система с отказами. Рассмотрим классическую задачу Эрланга.
Имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживаний имеет интенсивность μ. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система S (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): S₀, S₁, S₂, …, S_k, …, S_n, где S_k— состояние системы, когда в ней находится k заявок, т.е. занято k каналов.

Граф состояний СМОсоответствует процессу гибели и размножения и показан на рис. 12.

Рис. 12

Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью λ.Интенсивность же потока обслуживаний, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое состояние, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии S₂ (два канала заняты), то она может перейти в состояние. S₁ (один канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их потоков обслуживании будет 2μ. Аналогично суммарный поток обслуживаний, переводящий СМО из состояния S₃ (три канала заняты) в S₂. будет иметь интенсивность Зμ, т.е. может освободиться любой из трех каналов и т.д.
В формуле (16) для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятности состояния
(64)
где членыразложения будут представлять собой коэффициенты приp₀ в выражениях для предельных вероятностей p₁, p₂, …, p_k, …, p_n.Величина
(65)
называется приведеннойинтенсивностью потока заявок или интенсивностью нагрузки канала. Она выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки.

Теперь
(66)

(67)
Формулы (66) и (67) для предельных вероятностей получили названия формул Эрланга в честь основателя теории массового обслуживания.

Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все n каналов системы будут заняты, т.е.

(68)
Относительная пропускная способность — вероятность того, что заявка будет обслужена:
(69)
Абсолютная пропускная способность:

(70)
Среднее число занятых каналов есть математическое ожидание числа занятых каналов:

где p_k — предельные вероятности состояний, определяемых по формулам (66), (67).
Однако среднее число занятых каналов можно найти проще, если учесть, что абсолютная пропускная способность системы Аесть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем μ заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов
(71)
или, учитывая (70), (65):

(72)