Тогда очевидно, что

(2)

Обозначим далее через три показательные случайные величины с параметрами ; через три показательные случайные величины с параметрами . Пусть все эти величины независимы. Тогда верно

В последнем равенстве мы воспользовались следующим свойством показательной функции: e ^–Δ = 1 – Δ + o (Δ) при Δ → 0.

Аналогично получаем

Точно также устанавливается соотношение

Пусть – момент последнего перед t +Δ скачка процесса Х (t); – момент предпоследнего перед t +Δ скачка процесса X (t).

Обозначим еще Тогда очевидно, что

Это событие заключается в том, что происходят ровно два скачка.

Осталось заметить, что

Т.е вероятность того, что в системе будет два и более скачка равна нулю.

Подставляя в (2) полученные соотношения, приходим к следующему равенству:

Переходя в последнем равенстве к пределу при Δ → 0, получаем уравнение (1). Теорема доказана.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений:

если существуют пределы:

удовлетворяющие условию

то вероятности Р_k называются стационарными вероятностями (характеристиками), а относительно системы говорят, что она находится в стационарном (установившемся) режиме. Стационарные вероятности удовлетворяют следующей системе алгебраических уравнений:

(4)

Система (4) получается, если приравнять нулю левую часть системы (1). Решая последовательно систему (4), можно выразить числа Р_k через Р₀:

Подставляя в соотношение (3) получаем:

Очевидно далее, что сходимость ряда

есть условие существования стационарного режима в системах массового обслуживания. В этом случае стационарные характеристики Р_k процесса X(t) находятся с помощью формул