Свойства пуассоновских процессов

1) X(t) есть пуассоновский процесс с параметромλ, т.е.

2) Приращение пуассоновского процесса однородное.

Обозначим через X (( a,b ]) = X ( b ) – X ( a ) приращение процесса, которое может быть интерпретировано как число клиентов, поступающих в систему в промежутке ( a,b ]. Однородность означает выполнение условия:

P( X (( a,b ]) = k) = P( X ((0, b - a ]) = k) = P( X ( b - a ) = k),

т.е. распределение вероятностей числа клиентов, поступающих в систему в промежутке ( a,b ], зависит только от длины этого промежутка.

3) Приращения пуассоновского процесса независимы.

Рассмотрим промежуток (0, b ] и предположим, что он разбит на непересекающиеся промежутки (0, b ₁], ( b ₁, b ₂], ¼, ( b _N_-1, b _N]. Пусть b ₀= 0. Тогда X (( b ₀, b ₁]), X (( b ₁, b ₂]), ¼, X (( b _N_-1, b _N]) – число клиентов, поступающих в систему в соответствующие периоды времени. Эти величины независимы, т.е.

P( X (( b ₀, b ₁]) = i ₁, ¼, X (( b _N_-1, b _N]) = i _N) =

= P( X (( b ₀, b ₁]) = i ₁) ××× P( X (( b _N-1, b _N]) = i _N).

Доказательства этих свойств можно найти в [ ].

§ 3. Процесс гибели и размножения

Построим процесс гибели и размножения X ( t ) «конструктивно».

Рассмотрим две последовательности и. Первая - отвечает за поступление клиентов в систему (размножение), а вторая - за обслуживание клиентов (гибель):

- интенсивность поступления клиентов (число клиентов, которое поступает в систему за единицу времени, если в ней i клиентов).

- интенсивность обслуживания клиентов (число клиентов, которое обслуживается в системе за единицу времени, если в ней i клиентов).

Кроме того, пусть заданы две независимые последовательности независимых случайных величин с показательным распределением с параметром =1.

Процесс X (t) строится так. Пусть , где . Тогда на интервале процесс X (t) сохранит свое значение , где ,

В момент t ₁значение процесса X ( t ) либо увеличится, либо уменьшится на единицу в соответствии с тем, какой из двух моментов наступит раньше:

Мы положили, таким образом, значение процесса X (t) в точке t ₁ равным ; тогда эволюция процесса X ( t ) на интервале , где и , подчиняется тому же закону закону: X ( t ) не меняется на этом интервале в момент t ₂

увеличивается на единицу, если , и уменьшается на единицу в противном случае.

Если же , то значение процесса X ( t ) увеличивается на единицу в случайный момент .

Построенный таким образом процесс , называется однородным по времени процессом гибели и размножения; его распределения полностью определяются набором параметров, и начальным распределением X(0):

Удобно использовать следующую диаграмму для представления развития процесса X (t):

Стрелочки сверху соответствуют динамике процесса размножения: из i-го состояния процесс переходит в (i+1)-е состояние с интенсивностью ; стрелочки снизу соответсвуют динамике процесса гибели: с интенсивностью процесс из i-го состояния переходит в (i-1)-е состояние.

Набор функций

описывает распределение процесса X(t); ниже мы приведем систему уравнений, которым удовлетворяют эти функции.

Отметим, что не всякому набору параметров отвечает «невырожденный» процесс X(t); дело в том, что если числа растут очень быстро при , то процесс X(t) в конечный момент t может «взорваться», т.е. с положительной вероятностью превысить любой уровень и возрасти до . Так ведут себя, например, популяция бактерий в благоприятной среде. Аналогично устроены процессы, описывающие химические реакции, приводящие к взрыву.

Процессы X(t), для которых все , относятся к так называемым процессам чистого размножения. Процессы, для которых , называют процессами чистой гибели.

Следующая лемма дает необходимые и достаточные условия на параметры , которые гарантируют конечность процесса чистого размножения с параметрами .

Лемма. Пусть процесс чистого размножения с параметрами . Тогда для конечности процесса необходимо и достаточно, чтобы расходился ряд

Пусть X(t) процесс гибели и размножения с теми же параметрами процесса , а также параметрами . Очевидно, что

P(X(t) < ¥) ³ P(X⁺(t) < ¥).

Поэтому из леммы получаем следствие.

Следствие. Если для произвольного процесса гибели размножения X(t) выполнено условие , то для любого справедливо P( X(t) < ¥) = 1, т.е. процесс конечен.