2015-05-06
945
СТЕРЖЕНЬ
Стержень массой М - материальный прямолинейный отрезок АВ длиной l. Вычислим момент инерции этого стержня относительно оси Аy 
АВ. Разобьем стержень на бесконечно малые отрезки 
. Расстояние от 
до точки А обозначим 
, а его массу - 
.
Тогда: 
.
Линейная плотность стержня: 
(кг/м). Масса 
элементарного отрезка 
равна: 
. Стержень однородный, тогда: 
. Предел этой суммы - определённый интеграл по х в пределах от 0 до l: 
.
Момент инерции стержня относительно центра масс С вычисляется аналогично. Пределы в этом случае надо брать от 
. В результате: 
.
ПРЯМОУГОЛЬНИК
Тонкая однородная пластина ОАВС со сторонами а и b и массой М. Вычислим момент инерции относительно оси y (стороны ОА). Разобьем площадь ОАВС прямыми, параллельными оси х, на бесконечно узкие полоски. Масса полоски - 
. Каждая полоска является прямолинейным отрезком, момент инерции которого: 
.
Момент инерции всего прямоугольника: 
.
Аналогично относительно оси х: 
. Для момента инерции ОАВС относительно вершины О на основании связи полярного и осевых моментов, имеем: 
.
