double arrow

Доказать формулы для вычисления моментов инерции прямолинейного тонкого стержня и прямоугольной пластины


СТЕРЖЕНЬ

Стержень массой М - материальный прямолинейный отрезок АВ длиной l. Вычислим момент инерции этого стержня относительно оси Аy АВ. Разобьем стержень на бесконечно малые отрезки . Расстояние от до точки А обозначим , а его массу - .

Тогда: .

Линейная плотность стержня: (кг/м). Масса элементарного отрезка равна: . Стержень однородный, тогда: . Предел этой суммы - определённый интеграл по х в пределах от 0 до l: .

Момент инерции стержня относительно центра масс С вычисляется аналогично. Пределы в этом случае надо брать от . В результате: .

ПРЯМОУГОЛЬНИК

Тонкая однородная пластина ОАВС со сторонами а и b и массой М. Вычислим момент инерции относительно оси y (стороны ОА). Разобьем площадь ОАВС прямыми, параллельными оси х, на бесконечно узкие полоски. Масса полоски - . Каждая полоска является прямолинейным отрезком, момент инерции которого: .

Момент инерции всего прямоугольника: .

Аналогично относительно оси х: . Для момента инерции ОАВС относительно вершины О на основании связи полярного и осевых моментов, имеем: .







Сейчас читают про: