Доказать формулы вычисления моментов инерции круга и однородного круглого цилиндра

КРУГ

Вычислим момент инерции круга радиусом R и массой М относительно его центра О. Разобьем круг концентрическими окружностями на элементарные плоские кольца. Радиус такого кольца обозначим через , его бесконечно малую ширину через , а массу . Элементарное кольцо - материальную окружность, найдём ее момент инерции. Разобьем, всю окружность на бесконечно малые элементы - дуги. Массу элемента обозначим через . Все элементы находятся от точки О на одном расстоянии . Поэтому момент инерции такого кольца равен: . Поверхностная плотность однородного круга: (кг/м²).

Масса элементарного кольца: . Момент инерции круга равен: . Предел этой суммы - определённый интеграл по переменной r в пределах от 0 до R: .

Моменты инерции круга относительно осей Ох и Oy: воспользуемся формулой, связывающей осевые моменты инерции с полярным, и учтём что осевые моменты инерции круга в силу симметрии равны между собой. Получаем: .

КРУГЛЫЙ ЦИЛИНДР

Вычислим момент инерции круглого цилиндра относительно его оси вращения z. Радиус основания цилиндра R, а его масса - M. Разобьем цилиндр плоскостями, параллельными его основанию, на бесконечно тонкие круглые пластики, масса которых . Момент инерции такой пластинки относительно оси вращения цилиндра: .