2015-05-06
2623
 |
Будем безгранично увеличивать расстояние между импульсами, устремляя период повторения Т к бесконечности, так, чтобы в пределе остался один импульс. При этом расстояние между соседними спектральными составляющими и амплитуда каждой составляющей будут уменьшаться, стремясь к нулю (см. рис. 2.9). При этом спектр становится сплошным и его описание с помощью обычной спектральной диаграммы оказывается невозможным. Однако если взять небольшой интервал частот, например, шириной 1 Гц, то суммарная амплитуда всех спектральных составляющих внутри этого интервала будет оставаться неизменной. Эту суммарную амплитуду называют спектральной плотностью импульса.
Рис. 2.9. Характер изменения спектра периодического сигнала при Т ® ¥
Переход к спектру одиночного импульса можно математически описать следующим образом.
Запишем выражение (2.7) для огибающей спектра периодической последовательности импульсов:
Если период повторения импульсов Т достаточно большой, функцию Ф (t) в подынтегральном выражении можно заменить на функцию f (t), описывающую один импульс последовательности:
|
|
|
Для функции f (t)пределы интегрирования можно заменить на бесконечные:
, (2.11)
где
(2.12)
– спектральная плотность импульса f (t).
Выражение (2.11) позволяет связать огибающую спектра периодической последовательности импульсов со спектральной плотностью одного импульса.
Выражение вида (2.12) называется прямым преобразованием Фурье. Из курса математики известно, что если две функции связаны прямым преобразованием Фурье, то для них справедливо обратное преобразование Фурье:
. (2.13)
Происхождение формулы обратного преобразования Фурье можно качественно объяснить следующим образом. Возьмем выражение (2.5) для ряда Фурье в комплексной форме и положим Т ® ¥. При этом интервал между соседними спектральными составляющими W будет стремиться к нулю, а спектр – становиться непрерывным. Поэтому в выражении (2.5) дискретные значения частоты kW можно заменить непрерывными w, дискретные спектральные составляющие Ак – непрерывной огибающей спектра A (w), которую в свою очередь выразим через спектральную плотность импульса S (w), в результате чего получим:
.
Далее, учитывая, что при Т ® ¥ интервал между соседними спектральными составляющими W становится бесконечно малым, заменим его на d w, сумму заменим на интеграл, периодическую функцию Ф (t) – на одиночный импульс f (t), в результате получим формулу обратного преобразования Фурье (2.13).
Физический смысл преобразования Фурье состоит в том, что любую непериодическую функцию f (t) можно представить в виде суперпозиции составляющих вида e jwt и e -jwt , которые вместе образуют гармонические функции cos(wt) и sin(wt). В отличие от ряда Фурье, описывающего дискретный спектр, преобразование Фурье описывает непрерывный, сплошной спектр. Иначе говоря, в спектре непериодического сигнала могут присутствовать гармонические составляющие с любыми значениями частоты; частотный интервал между соседними составляющими бесконечно мал, и амплитуда каждой составляющей тоже бесконечно мала. Именно поэтому спектр непериодического сигнала описывается не амплитудами отдельных спектральных составляющих, а спектральной плотностью, которая пропорциональна суммарной амплитуде спектральных составляющих в единичной полосе частот.
|
|
|
Понятие спектральной плотности схоже с хорошо известным понятием плотности масс. Если взять бесконечно малый объем любого тела, то сосредоточенная в нем масса бесконечно мала. Поэтому для описания распределения массы тела используется понятие плотности, т. е. массы, заключенной в единице объема.
Преобразование Фурье может быть применено, строго говоря, не для любой функции, а только для такой, которая удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости:
< ¥. (2.14)
Этому условию соответствуют импульсные сигналы, которые равны нулю как при t → –¥, так и при t → ¥, а также все реальные сигналы, имеющие начало и конец. Однако радиоинженеру часто приходится иметь дело с неинтегрируемыми сигналами, которые не удовлетворяют условию (2.14). К неинтегрируемым сигналам относятся, например, постоянный сигнал, импульс включения, гармонический сигнал и другие. Для неинтегрируемых сигналов разработаны специальные приемы, позволяющие в обход математических ограничений находить спектральные плотности этих сигналов.
