Теорема о смещении спектра

Теореме о запаздывании соответствует парная ей теорема о смещении спектра. Пусть (w) – спектральная плотность сигнала f (t). Определим, какому сигналу будет соответствовать спектральная плотность (w – w ₀). Для этого используем формулу обратного преобразования Фурье:

Проводя замену переменной , получаем

, (2.16)

т. е. смещение спектра на величину w ₀ соответствует умножению сигнала на . Получающийся при этом сигнал оказывается комплексным, в то время как все реально существующие сигналы являются вещественными. Это обстоятельство не должно вызывать недоразумений, поскольку смещенный спектр (w – w ₀) не обладает свойством четности или нечетности и поэтому не соответствует реальному вещественному сигналу. Теорема о смещении спектра оказывается полезной в тех случаях, когда реальный вещественный сигнал оказывается удобным представить в виде суммы комплексных составляющих. Примеры таких преобразований будут приведены ниже.

Теорема о смещении спектра весьма схожа с теоремой о запаздывании. Это обусловлено схожестью прямого и обратного преобразований Фурье, или, иначе говоря, симметрией преобразований Фурье. Вследствие симметрии преобразований Фурье каждая теорема о спектральной плотности имеет парную теорему, в чем Вы сможете убедиться в дальнейшем.