Множество называется метрическим пространством, если определено неотрицательное число , называемое расстоянием между элементами и и удовлетворяющее 3 аксиомам:
1. аксиома выбора:
2. аксиома симметрии:
3. аксиома треугольника:
Если на множестве задана функция удовлетворяющая 3 аксиомам из , то эта функция называется метрикой заданной на .
Если на множестве задана метрика , то полученное таким образом метрическое пространство принято обозначать или , в зависимости от того нужно ли указывать каким образом задана метрика.
Элементы метрического пространства принято называть точками этого пространства.
Примеры метрических пространств:
1. На множестве всех упорядоченных совокупностей действительных чисел зададим следующим образом
- мерное Евклидово пространство
2. На множестве всех ограниченных числовых последовательностей зададим следующим образом
- пространство ограниченных числовых последовательностей
3. Пусть фиксированное число , на множестве всех числовых последовательностей , каждая из которых удовлетворяет условию сходимости числового ряда , зададим следующим образом
|
|
- пространство числовых последовательностей суммируемых со степенью
4. На множестве всех числовых последовательностей зададим следующим образом
- пространство числовых последовательностей
5. На множестве всех действительных функций определенных и непрерывных на зададим следующим образом
. Полученное таким образом пространство обозначается символом и называется пространством функций непрерывных на .
6. На множестве всех определенных на и раз непрерывно дифференцируемых функций зададим следующим образом
, где производная. Полученное таким образом пространство обозначается символом и называется пространством раз непрерывно дифференцируемых на функций.
7. На множестве всех определенных и ограниченных на функций зададим следующим образом
. Полученное таким образом пространство обозначается символом и называется пространством ограниченных на функций.
8. Пусть фиксированное число , на множестве всех вещественных функций каждая из которых удовлетворяет 3 условиям:
1) - определена на
2) - измерима по Лебегу на
3) - интегрируема по Лебегу на .
Зададим следующим образом: . Полученное таким образом пространство обозначается символом и называется пространством суммируемых со степенью на функций.
Сходимость последовательностей элементов метрических пространств.
Будем говорить, что последовательность элементов метрического пространства , является сходящейся (сх) в этом пространстве к элементу , если: .
|
|
Св-ва:
1)всякая сходящаяся последовательность элементов метрического пространства сходится к единственному элементу этого пространства;
2)каждая сходящаяся последовательность метрического пространства является ограниченной;
3)любая подпоследовательность сходящейся последовательности элементов метрического пространства сходится к тому же элементу этого пространства, что и сама последовательность;
4) всякая сходящаяся последовательность элементов метрического пространства сходится в себе;
5) всякая сходящаяся в себе последовательность элементов метрического пространства является ограниченной.