Принцип сжимающих отображений

Пусть метрические пространства. Любое отображение называется оператором действующим из пространства в пространство .

Оператор называется оператором сжатия, если существует такое число для которого выполняется неравенство: , константа называется константой сжатия.

Неподвижной точкой оператора называется любой такой элемент , который удовлетворяет равенству .

Метрическое пространство называется полным, если любая сходящаяся в себе последовательность элементов является сходящейся в этом метрическом пространстве. Следовательно метрическое пространство является полным тогда и только тогда, когда для любой последовательности его элементов выполняется следующее (критерий Коши): .

(Принцип сжимающих отображений). Пусть полное метрическое пространство и оператор сжатия. Тогда в пространстве существует единственная неподвижная точка оператора .