2015-04-20
943
Если один из концов отрезка считают начальным, а другой конечным, то на отрезке устанавливают направление от начала к концу, такой отрезок называется направленным или вектором. Если 
начало, а 
конец, то вектор обозначают 
. Модулем вектора называют его длину и обозначают 
. Вектор наз. нулевым если начало и конец совпадают, т. е. длинна вектора равна 0 Вектор, модуль которого равен единице наз. единичным или ортом.
Скалярным произведением 2-х не нулевых векторов 
наз. число 
, равное произведению длин перемножаемых векторов на cos угла между ними: 
. Если один из векторов явл. нулевым, то считают, что 
. Свойства:
1. 
- коммутативность скалярного произведения. Док-во: по определению , 
, как видим, если не нулевые векторы, то . Если один из векторов нулевой, то 
. Таким образом каковы бы не были векторы 
.
2. 
3. Если 
,то 
(pr-проекция).
4. 
- любое действ. число.
5. 
необходимо и достат-но 
6. 
. Угол между векторами: по определению 
.
Векторное произведение 2-х векторов. Если 
, то векторным произведением векторов 
и 
наз. вектор 
длинна и направление которого определяется следующим образом 
, 
угол между 
Если 
, то 
и направлен так чтобы тройка 
была правой. Для обозначения вект. произведения пользуются такими символами 
или 
Если 
или 
, то считают 
.
Св-ва:
1. Если , то 
, верно и обратное утверждение. Док-во: Если , то возможны такие варианты: а) один из векторов - нулевой. Ясно, что 
. б) 
, тогда 
, в обоих случаях 
компланарно 
.(компланарны, если они || одной плоскости).
2. 
.
3. Длина вект. произведения 
парал. построенного на векторах , кот. откладываются из одной точки.
4. Вект. произвед. не изменится, если один из сомножителей 
заменить ортогональной проекцией на плоскость 
пл-ти b, т. е. 
.
5. 
; 
.
6. 
; 
.
7. Пусть 
- правый декартовый базис и пусть в этом базисе 
Двойным векторным произв. 3-х векторов наз. вектор 
или 
. Теорема. 
Смешанное произ. 3-х векторов 
наз. число 
. Теорема (геометр. смысл). Пусть V-обьем паралел. построенного на векторах , тогда 
36. ПРЯМАЯ НА ПЛОСОСТИ. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛ-ТИ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ.
Построим ур-е прямой, кот. проходит через точку 
, 
направляющий вектор. 
, если 
некоторая точка прямой, то тогда и только тогда 
.(
-репер). 
, таким образом для произвольной точки М прямой 
(1). Ур-е (1) наз. векторным уравнением прямой, кот. проходит через точку 
. Очевидно 
. Из (1) получаем параметрическое уравнение прямой: 
(2). Из парам. уравнения следует каноническое уравнение прямой на плоскости: 
(3). Прямая проходит через точку 
Запишем ур-е прямой кот. проходит через 2-е точки 
. Воспользуемся каноническим ур-м (3), в качестве направляющего вектора возьмем вектор 
, в итоге получим: 
(4). Рассмотрим каноническое ур-е прямой 
. Из него получаем: 
, 
, тогда последнее уравнение можно записать в виде 
(5)- общее уравнение прямой. Из сказанного выше можно сделать вывод, что направляющий вектор прямой 
.
Теорема.(взаимное расположение на пл-ти) Пусть на плоскости заданы две прямые 
; 
, тогда 1) прямые пересекаются, если 
; 2) прямые ||, если 
; 3) прямые совпадают, если 
. Совокупность прямых на пл-ти, кот. проходит через одну точку 
наз. пучком прямых с центром в точке . Нормальный вектор прямой: (
-прямая)-это любой вектор 
. Лемма1. Для прямой , 
. Лемма2. Угол 
между 2-мя прямыми понимают наименьший угол из 2-х смешанных углов, образованных этими прямыми. Теорема. Пусть ,и 
, тогда расстояние от точки Р до прямой можно вычислить по формуле: 
.
