Элипс, парабола, гипербола и их свойства

Парабола- наз. такое мн-во точек в пл-ти для каждой из которых расстояние до заданной точки пл-ти М фокуса = расстоянию от этой точки до заданной прямой (директриса). Расстояние р от фокуса до директрисы наз. фокальным параметром параболы. Прямая директрисе и проходящая через фокус наз. осью параболы. Расстояние r от точки М до фокуса наз. фокальным радиусом этой точки. Точка пресечения параболы с ее осью наз. вершиной параболы. Каноническое ур-е пар.: . Свойства параболы: 1) ось параболы явл. осью симметрии; 2) Вершина параболы имеет корд. (0,0); 3) парабола явл. неограниченной кривой; 4) Ур-е дисектрисы параб. таково: .

Эллипсом – наз. такое мн-во точек пл-ти рнастояние от каждой точки которого до 2-х заданных точек пл-ти (фокуса) есть величина постоянная равная заданному числу 2a. Расстояние между фокусами наз. фокусным расстоянием эллипса, обозначают через 2с. Середина отрезка наз. центром эллипса. Длины отрезков наз. фокальными радиусами т. М. Прямая кот. проходит через точки наз. осью эллипса. Прямая, кот. проходит через центр эллипса наз. нефокальной осью эллипса. Рисунок 1.

Вывод канонического ур-я эллипса. Сначала декарт. сис-му координат выберем в центре эллипса, ось х направим вдоль оси эл. В направлении вектора . Ось y направим вдоль нефокальной оси эллипса, так чтобы система коорд. была правой. Пусть - произвольная точка эллипса. Согласно опред. эллипса . Упростим это уравнение: .

.

Поскольку a >c, то это дает право обозначить . Мы получим . Разделим обе части на прийдем к каноническому ур-ю эллипса: , здесь . Рисунок 2.

Св-ва эллипса: 1) Эллипс – ограниченная кривая расположенная в прямоугольнике со сторонами ; 2) Точка О(0,0) явл. центром симметрии эллипса (центр эллипса). 3) Ось эллипса и нефокальная ось явл. осями симметрии эллипса. Отношение наз. эксцентриситет эллипса. Директрисами эллипса наз. 2-е прямые || малой оси и стоящие от нее на расстоянии , ур-е дисектрисы имеет вид .

Гиперболой наз. мн-во точек пл-ти для каждой из кот. модуль разности расстояния до 2-х зад. точек пл-ти есть величина постоянная =2а. Каноническое ур-е гиперболы: . Св-ва гиперболы: 1) гипербола не ограниченная кривая; 2) Точка (0,0) явл. центром симметрии гиперболы ; 3)фокальные и нефокальные оси гиперболы явл. осями симметрии. Прямые наз. асимптотами гпп. -эксцинтриситет. - директриса гиперболы.