ДУ, допускающие понижение порядка

1. Исходное ДУ не содержит функцию, ее производных до (к-1) порядка т. е. ур-е имеет вид:

F(x,y⁽^k⁾,y⁽^k⁺¹⁾,…y⁽ⁿ⁾)=0 (1)
Порядок ур-я может быть снижен до (n-k)порядка заменой y⁽^k⁾(x)=p(x) Þ y⁽^k⁺¹⁾(x)=p’(x), y⁽^k⁺²⁾(x)=p’’(x)…y⁽ⁿ⁾(x)=p⁽ⁿ^-^k⁾(x) Þ

F(x,p(x),…p⁽ⁿ^-^k⁾(x))=0 (2)
Интегрируя (2) Þ p(x)=p(x,c,…c_n_-_k) Ф-я у после этого находится путём к-ого интегрирования, т. е. y₁⁽^k⁾(x)=p(x, c₁,…,c_n_-_k).

2. Исходное ур-е не содержит переменной x

F(y,y’,…,y⁽ⁿ⁾(x))=0 (3)

В этом случае порядок может быть снижен на 1 подстановкой: y’(x)=p(y), т. е. p рассматривается как новая неизвестная ф-я от y, т. е. p=p(y) Þ y’(x)=p(y) Þ высшие производные будут вычислены по формулам:

y”=(y’)’=(p(y))’=p’y’=pp’ Þ исходное ур-е примет вид F(y,p,p’,…p⁽ⁿ^-1)(y))=0 – порядок ниже на 1.

3. F(x,y,y’,…,y⁽ⁿ⁾(x))=0 и левая часть этого ур-я представляет собой произведение некоторого диф. выражения (n-1) порядка, т. е. j(x,y,y’,…,y⁽ⁿ^-1)(x))=0. В этом случае находится так называемый первый интеграл, т. е. ДУ (n-1) порядка с 1 производной постоянной эквивалентен исходному ур-ю n-го порядка. Этим понижается порядок исходного ур-я на 1.

4. Рассмотрим частный случай ур-я n-го порядка с переменными коэффициентами, именуемые уравнением Эйлера имеет вид:

x⁽ⁿ⁾y_n⁽ⁿ⁾(x)+x⁽ⁿ^-1)y_n_-1⁽ⁿ^-1)(x)+…+xy₁(x)+a₀y(x)=0, a₀=const¹0 (4) Заметим, что порядок х соответствует порядку производной y(x). Решение (4) может быть получено введением новой переменной x=e^t Þ dx=e^tdt (5)

(6)

Аналогично могут быть выражены и следующие производные по x. Подставляя (5), (6) в (4) и преобразуя его, сведём (4) с переменными коэффициентами к ДУ с постоянными коэф-ми, методы решения которые нам известны.

5.F(x,y,y’,…,y⁽ⁿ⁾(x))=0 (7)

Пусть (7) однородно относительно аргумента y,y’,…,y⁽ⁿ⁾ т. е. однородно относительно i-ой производной Þ

F(x,ky,ky’,…,ky⁽ⁿ⁾(x))=k^pF(x,y,y’,…,y⁽ⁿ⁾(x)) (8) (8) является однородным p-го порядка (измерения). Порядок такого ур-я может быть понижен на 1 подстановкой

(9) где z(x) – новая неизвестная ф-я. При такой замене: