2015-04-20
322
Лемма 2 позволяет установить необходимое условие перегиба графика дважды дифференцируемой в данной точке функции.
Теорема 9.6. (необходимое условие перегиба графика функции). Если функция 
имеет в точке с вторую производную и график этой функции имеет перегиб в точке 
, то 
.
Доказательство. Пусть Y – текущая координата касательной 
, проходящей через точку . Рассмотрим функцию
,
равную разности f (x) и линейной функции 
. Эта функция, как и функция f (x) имеет в точке с вторую производную. По Лемме 2 в малой окрестности точки с график лежит слева и справа от с по разные стороны от касательной, проходящей через точку , следовательно, функция F (x) в малой окрестности точки с имеет слева и справа от нее разные знаки.
Стало быть, функция F (x) не может иметь в точке с локального экстремума.
Предположим теперь, что 
. Тогда, поскольку 
, выполняются условия 
и функция в силу Теоремы 9.2 имеет в точке с локальный экстремум. Полученное противоречие доказывает, что предположение является неверным, т.е. .
