Доказательство. 1). Необходимость.Пусть график функции имеет при асимптоту (1), т.е

1). Необходимость. Пусть график функции имеет при асимптоту (1), т.е. для f (x) справедливо представление (2). Тогда

,

2). Достаточность. Пусть существуют предельные значения (3). Второе из этих предельных значений дает право утверждать, что разность является бесконечно малой при . Обозначив эту бесконечно малую через , получим для f (x) представление (2).

Теорема доказана.

Замечание. Аналогично определяется наклонная асимптота и доказывается Теорема 9.10 и для случая .

Критерий Коши сходимости числового ряда.