2015-04-20
2895
Так как вопрос о сходимости ряда эквивалентен вопросу о сходимости его частичных сумм, то мы получим необходимое и достаточное условие сходимости данного ряда, сформулировав критерий сходимости Коши для последовательности его частичных сумм. Для удобства приведем формулировку критерия Коши для последовательности. Для того, чтобы последовательность 
была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для "e > 0 нашелся номер N такой, что для всех n ³ N и для всех натуральных p (p = 1, 2, 3,…) 
.
В качестве следствия из этого утверждения мы получим следующую основную теорему.
Теорема 13.1. (критерий Коши для ряда). Для того, чтобы ряд 
сходился, необходимо и достаточно, чтобы для для "e > 0 нашелся номер N такой, что для всех n ³ N и для всех натуральных p
. (2)
Доказательство. Для доказательства достаточно заметить, что величина под знаком модуля в неравенстве (2) равна разности частичных сумм 
.
