Определение определенного интеграла

Пусть непрерывная функция определена на отрезке . Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками

.

В каждом из полученных частичных отрезков выберем произвольную точку . Через обозначим разность , которую условимся называть длиной частичного отрезка .

Образуем сумму

,

которую назовем интегральной суммой для функции на отрезке , соответствующей данному разбиению отрезка на частичные отрезки и данному выбору промежуточных точек . Геометрический смысл суммы очевиден: это сумма площадей прямоугольников с основаниями и высотами (если на отрезке ) (рис. 2.1).

Рис. 2.1 Геометрический смысл интегральной суммы и определенного интеграла

Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка разбиения:

.

Определение. Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм при стремлении к нулю длины наибольшего частичного отрезка разбиения, если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора в каждом из них точки :

.

Функция называется интегрируемой на отрезке . Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок – отрезком интегрирования. Функция называется также подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования.

Из определения следует, что определенный интеграл представляет собой некоторое число и не зависит от обозначения переменной интегрирования:

.

Из определения определенного интеграла и рис. 2.1 следует геометрический смысл определенного интеграла: определенный интеграл от неотрицательной функции по отрезку численно равен площади криволинейной трапеции , т.е. фигуры, ограниченной осью Ох, графиком функции и двумя прямыми и .

Теорема 2.1 существования определенного интеграла (без доказательства).

Если функция непрерывна на отрезке , то для нее на этом отрезке существует определенный интеграл.

Замечание. Класс интегрируемых функций шире, чем класс непрерывных функций. Например, интегрируемыми являются также кусочно-непрерывные на отрезке функции.