По переменному верхнему пределу

Пусть на отрезке задана непрерывная функция .

Определение. Функция

называется определенным интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема 2.2. Производная определенного интеграла от непрерывной на отрезке функции по переменному верхнему пределу равна значению подынтегральной функции на верхнем пределе:

.

Доказательство. Дадим аргументу приращение . Найдем приращение функции , используя свойство 3 определенного интеграла:

.

Применяя к последнему интегралу теорему о среднем (свойство 9), получим

,

где с заключено между и .

Согласно определению производной имеем

.

Так как , то , и в силу непрерывности подынтегральной функции на отрезке

.

Следовательно, .

Таким образом, доказана теорема 1.2 существования первообразной для непрерывной на отрезке функции , причем первообразной для является определенный интеграл с переменным верхним пределом :

.