Формула Ньютона-Лейбница. С помощью теоремы 2.2 выведем основную формулу интегрального исчисления – формулу Ньютона-Лейбница

С помощью теоремы 2.2 выведем основную формулу интегрального исчисления – формулу Ньютона-Лейбница. Эта формула дает способ вычисления определенного интеграла через первообразную от подынтегральной функции, не прибегая к составлению интегральной суммы и к вычислению ее предела.

Теорема 2.3. Если есть какая-либо первообразная от непрерывной на отрезке функции , то справедлива формула Ньютона-Лейбница:

.

Доказательство. По теореме 2.2 функция является первообразной от функции на отрезке , т.е.

.

Определим постоянную С, подставляя в это равенство значение и используя свойство 5 определенного интеграла:

, так как .

Тогда

.

Полагая в полученном равенстве и затем заменяя переменную интегрирования t на x, получаем формулу Ньютона-Лейбница.

Пример

.