Замена переменной в определенном интеграле. Теорема 2.4. Пусть – непрерывная функция на отрезке

Теорема 2.4. Пусть – непрерывная функция на отрезке . Тогда, если: 1) функция дифференцируема на отрезке и непрерывна на ; 2) множеством значений функции является отрезок ; 3) и , то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле:

.

Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница

,

где – первообразная для функции на отрезке . Рассмотрим на отрезке сложную функцию . Применяя правило дифференцирования сложной функции, находим

.

Отсюда следует, что функция является первообразной для функции и непрерывной на отрезке , а поэтому согласно формуле Ньютона-Лейбница получаем

.

Пример

.