2015-04-23
997
Теорема 2.4. Пусть 
– непрерывная функция на отрезке 
. Тогда, если: 1) функция 
дифференцируема на отрезке 
и 
непрерывна на ; 2) множеством значений функции является отрезок ; 3) 
и 
, то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле:
.
Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница
,
где 
– первообразная для функции на отрезке . Рассмотрим на отрезке сложную функцию 
. Применяя правило дифференцирования сложной функции, находим
.
Отсюда следует, что функция 
является первообразной для функции 
и непрерывной на отрезке , а поэтому согласно формуле Ньютона-Лейбница получаем
.
Пример
.
