Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

Теорема (Первый признак сравнения)

Пусть даны два знакоположительных ряда:

(1)

и

(2)

причем, начиная с некоторого номера , для любого выполняется неравенство Тогда:

1) из сходимости ряда следует сходимость ряда ;

2) из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Схематическая запись первого признака сравнения:

сход.сход.

расх.®расх.

Для применения этого признака часто используют такие ряды-эталоны, сходимость или расходимость которых известна заранее, например:

1) - геометрический (он сходится при и расходится при );

2) – гармонический (он расходится);

3) - ряд Дирихле (он сходится при и расходится при ).

Кроме этого часто используют ряды, которые можно получить с помощью следующих очевидных неравенств:

, , ,

Рассмотрим на конкретном примере схему исследования знакоположительного ряда на сходимость с помощью первого признака сравнения.

Пример 6. Исследовать ряд на сходимость.

Шаг 1. Проверим знакоположительность ряда: для

Шаг 2. Проверим выполнение необходимого признака сходимости ряда: . Так как , то .

(Если вычисление предела вызывает трудности, то этот шаг можно пропустить.)

Шаг 3. Используем первый признак сравнения. Для этого подберем для данного ряда ряд-эталон. Так как , то в качестве эталона можно взять ряд , т.е. ряд Дирихле. Этот ряд сходится, так как показатель степени . Следовательно, согласно первому признаку сравнения сходится и исследуемый ряд.

Пример 7. Исследовать ряд на сходимость.

1) Данный ряд знакоположительный, так как для

2) Необходимый признак сходимости ряда выполняется, так как

3) Подберем ряд-эталон. Так как , то в качестве эталона можно взять геометрический ряд . Этот ряд сходится, следовательно, сходится и исследуемый ряд.

Теорема (Второй признак сравнения)

Если для знакоположительных рядов и существует отличный от нуля конечный предел , то ряды сходятся или расходятся одновременно.

Замечание. Если при (необходимый признак сходимости), то из условия , следует, что и – бесконечно малые одного порядка малости (эквивалентные при ). Следовательно, если дан ряд , где при , то для этого ряда можно брать ряд-эталон , где общий член имеет тот же порядок малости, что и общий член данного ряда.

При выборе ряда-эталона можно пользоваться следующей таблицей эквивалентных бесконечно малых при :

1) ; 4) ;

2) ; 5) ;

3) ; 6) .

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд .

Данный ряд знакоположительный, так как для любого .

Так как , то возьмем в качестве ряда-эталона гармонический расходящийся ряд . Поскольку предел отношения общих членов и конечен и отличен от нуля (он равен 1), то на основании второго признака сравнения данный ряд расходится.

Пример 9. Исследовать на сходимость ряд по двум признакам сравнения.

Данный ряд знакоположительный, так как , и . Поскольку , то в качестве ряда-эталона можно брать гармонический ряд . Этот ряд расходится и следовательно, по первому признаку сравнения, исследуемый ряд также расходится.

Так как для данного ряда и ряда-эталона выполняется условие (здесь использован 1-й замечательный предел), то на основании второго признака сравнения ряд – расходится.

Теорема (Признак Даламбера)

Если для знакоположительного ряда существует конечный предел , то ряд сходится при и расходится при .

Замечания:

1) Если , признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда и поэтому необходимо использовать другие признаки сходимости.

2) Признак Даламбера дает оценку и остатка ряда. Из неравенства

,

следует, что остаток ряда

.

3) Признак Даламбера удобен на практике тогда, когда общий член ряда содержит показательную функцию или факториал.

Пример 10. Исследовать на сходимость ряд по признаку Даламбера.

Данный ряд знакоположительный и .

(Здесь при вычислении дважды применено правило Лопиталя.)

Так как

то по признаку Даламбера данный ряд сходится.

Пример 11. Исследовать на сходимость ряд .

Данный ряд знакоположительный и . Поскольку

,

то данный ряд сходится.

Теорема (Признак Коши)

Если для знакоположительного ряда существует конечный предел , то при ряд сходится, а при ряд расходится.

Замечания:

1) Если , признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда и поэтому необходимо использовать другие признаки сходимости.

2) Если , то ряд расходится.

Пример 12. Исследовать на сходимость ряд .

Данный ряд знакоположительный, так как для любого . Поскольку вычисление предела вызывает определенные трудности, то проверку выполнимости необходимого признака сходимости ряда опускаем.

Так как

,

то по признаку Коши данный ряд расходится.

Теорема (Интегральный признак сходимости Маклорена — Коши)

Пусть дан ряд

члены которого положительны и не возрастают:

Пусть, далее — функция, которая определена для всех вещественных , непрерывна, не возрастает и

, , …, , …

Тогда для сходимости ряда (7) необходимо и достаточно, чтобы сходился (существовал) несобственный интеграл

.

Пример 13. Исследовать на сходимость ряд

Решение

Члены ряда суть значения функции при Так как для эта функция непрерывна, положительна и убывает, то вопрос о сходимости ряда эквивалентен вопросу о сходимости интеграла По определению несобственного интеграла

несобственный интеграл сходится, а, следовательно, сходится и исходный числовой ряд.