Теорема (Первый признак сравнения)
Пусть даны два знакоположительных ряда:
(1)
и
(2)
причем, начиная с некоторого номера , для любого выполняется неравенство Тогда:
1) из сходимости ряда следует сходимость ряда ;
2) из расходимости ряда следует расходимость ряда .
Схематическая запись первого признака сравнения:
сход.сход.
расх.®расх.
Для применения этого признака часто используют такие ряды-эталоны, сходимость или расходимость которых известна заранее, например:
1) - геометрический (он сходится при и расходится при );
2) – гармонический (он расходится);
3) - ряд Дирихле (он сходится при и расходится при ).
Кроме этого часто используют ряды, которые можно получить с помощью следующих очевидных неравенств:
, , ,
Рассмотрим на конкретном примере схему исследования знакоположительного ряда на сходимость с помощью первого признака сравнения.
Пример 6. Исследовать ряд на сходимость.
Шаг 1. Проверим знакоположительность ряда: для
Шаг 2. Проверим выполнение необходимого признака сходимости ряда: . Так как , то .
|
|
(Если вычисление предела вызывает трудности, то этот шаг можно пропустить.)
Шаг 3. Используем первый признак сравнения. Для этого подберем для данного ряда ряд-эталон. Так как , то в качестве эталона можно взять ряд , т.е. ряд Дирихле. Этот ряд сходится, так как показатель степени . Следовательно, согласно первому признаку сравнения сходится и исследуемый ряд.
Пример 7. Исследовать ряд на сходимость.
1) Данный ряд знакоположительный, так как для
2) Необходимый признак сходимости ряда выполняется, так как
3) Подберем ряд-эталон. Так как , то в качестве эталона можно взять геометрический ряд . Этот ряд сходится, следовательно, сходится и исследуемый ряд.
Теорема (Второй признак сравнения)
Если для знакоположительных рядов и существует отличный от нуля конечный предел , то ряды сходятся или расходятся одновременно.
Замечание. Если при (необходимый признак сходимости), то из условия , следует, что и – бесконечно малые одного порядка малости (эквивалентные при ). Следовательно, если дан ряд , где при , то для этого ряда можно брать ряд-эталон , где общий член имеет тот же порядок малости, что и общий член данного ряда.
При выборе ряда-эталона можно пользоваться следующей таблицей эквивалентных бесконечно малых при :
1) ; 4) ;
2) ; 5) ;
3) ; 6) .
Пример 8. Исследовать на сходимость ряд .
Данный ряд знакоположительный, так как для любого .
Так как , то возьмем в качестве ряда-эталона гармонический расходящийся ряд . Поскольку предел отношения общих членов и конечен и отличен от нуля (он равен 1), то на основании второго признака сравнения данный ряд расходится.
|
|
Пример 9. Исследовать на сходимость ряд по двум признакам сравнения.
Данный ряд знакоположительный, так как , и . Поскольку , то в качестве ряда-эталона можно брать гармонический ряд . Этот ряд расходится и следовательно, по первому признаку сравнения, исследуемый ряд также расходится.
Так как для данного ряда и ряда-эталона выполняется условие (здесь использован 1-й замечательный предел), то на основании второго признака сравнения ряд – расходится.
Теорема (Признак Даламбера)
Если для знакоположительного ряда существует конечный предел , то ряд сходится при и расходится при .
Замечания:
1) Если , признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда и поэтому необходимо использовать другие признаки сходимости.
2) Признак Даламбера дает оценку и остатка ряда. Из неравенства
,
следует, что остаток ряда
.
3) Признак Даламбера удобен на практике тогда, когда общий член ряда содержит показательную функцию или факториал.
Пример 10. Исследовать на сходимость ряд по признаку Даламбера.
Данный ряд знакоположительный и .
(Здесь при вычислении дважды применено правило Лопиталя.)
Так как
то по признаку Даламбера данный ряд сходится.
Пример 11. Исследовать на сходимость ряд .
Данный ряд знакоположительный и . Поскольку
,
то данный ряд сходится.
Теорема (Признак Коши)
Если для знакоположительного ряда существует конечный предел , то при ряд сходится, а при ряд расходится.
Замечания:
1) Если , признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда и поэтому необходимо использовать другие признаки сходимости.
2) Если , то ряд расходится.
Пример 12. Исследовать на сходимость ряд .
Данный ряд знакоположительный, так как для любого . Поскольку вычисление предела вызывает определенные трудности, то проверку выполнимости необходимого признака сходимости ряда опускаем.
Так как
,
то по признаку Коши данный ряд расходится.
Теорема (Интегральный признак сходимости Маклорена — Коши)
Пусть дан ряд
члены которого положительны и не возрастают:
Пусть, далее — функция, которая определена для всех вещественных , непрерывна, не возрастает и
, , …, , …
Тогда для сходимости ряда (7) необходимо и достаточно, чтобы сходился (существовал) несобственный интеграл
.
Пример 13. Исследовать на сходимость ряд
Решение
Члены ряда суть значения функции при Так как для эта функция непрерывна, положительна и убывает, то вопрос о сходимости ряда эквивалентен вопросу о сходимости интеграла По определению несобственного интеграла
несобственный интеграл сходится, а, следовательно, сходится и исходный числовой ряд.