Частотные характеристики линейных цепей

Если заданный входной сигнал после преобразования системой остается неизменным с точностью до некоторого числового множителя, то есть выполняется равенство U _вых(t)=Т U _вх(t)=l U _вх(t), то U _вх(t) называется собственной функцией оператора Т, а число l (в общем случае комплексное) – его собственным значением.

Покажем, что комплексный сигнал U _вх(t)=exp(jwt) при любом значении частоты w является собственной функцией линейной стационарной системы. Воспользуемся интегралом Дюамеля и вычислим значение выходного сигнала:

Отсюда видно, что собственным значением является комплексное число

(6.8)

называемое частотным коэффициентом передачи системы.

Формула (6.8) устанавливает принципиальный факт: частотный коэффициент передачи и импульсная характеристика линейной стационарной системы связаны между собой преобразованием Фурье, т.е. K(iw) можно рассматривать как спектральную плотность h(t). Поэтому, зная функцию K(iw), можно всегда определить

(6.9)

Таким образом, любую линейную стационарную систему можно рассматривать либо во временной области с помощью ее импульсной и переходной характеристик и интеграла Дюамеля, либо в частотной области, задавая частотный коэффициент передачи системы. В принципе, оба подхода равноценны, и критерием выбора служит удобство получения исходных данных о системе и простота вычислений.

Частотные свойства многомерной линейной системы, имеющей m входов и n выходов, можно описать матрицей частотных коэффициентов передачи:

(6.10)

Между матрицами h и K устанавливается закон связи, аналогичный тому, который задан формулами (6.8) и (6.9).

Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики. Функция K(jw) имеет простой физический смысл: если на вход системы поступает гармонический сигнал с известной частотой w и комплексной амплитудой U*_вх, то комплексная амплитуда выходного сигнала

U*_вых = K(jw) U*_вх. (6.11)

В инженерных расчетах часто используют представление частотного коэффициента в показательной форме:

K(jw) = /K(jw)/ exp(jj_k(w)). (6.12)

Входящие в (6.12) вещественные функции являются основными частотными характеристиками любой электронной системы: /K(jw)/ - амплитудно-частотная харaктеристика (АЧХ); j_k(w) – фазочастотная характеристика (ФЧХ) системы.

Поскольку импульсная характеристика h(t) обязана быть вещественной, то в силу свойств преобразования Фурье частотный коэффициент передачи физически реализуемой системы должен удовлетворять условию: K(jw) = K*(-jw). Поэтому модуль частотного коэффициента передачи (АЧХ) есть четная, а фазовый угол (ФЧХ) – нечетная функция частоты.