Оценка денежного потока с неравными поступлениями

Ситуация, когда денежные поступления по годам варьируют, явля­ется наиболее распространенной. Общая постановка задачи в этом случае такова.

Пусть С1, C2,..., Сп — денежный поток; r— ставка дисконти­рования. Поток, все элементы которого с помощью дисконтирующих множителей приведены к одному моменту времени, а именно к на­стоящему моменту, называется приведенным. Требуется найти сто­имость данного денежного потока с позиции будущего и с позиции настоящего.

3.5.1. ОЦЕНКА ПОТОКА ПОСТНУМЕРАНДО

Прямая задача предполагает оценку с позиции будущего, т.е. на конец периода п, когда реализуется схема наращения, которую можно представить следующим образом (рис. 3.6).

Таким образом, на первое денежное поступление С₁ начисляются сложные проценты за (n - 1) период, и оно в конце n-го периода станет равным C₁/(1+г)^n-1. На второе денежное поступление С₂ начисляются сложные проценты за (n-2) периода, и оно станет рав­ным C₂(1+r)_n-2 и т.д. На предпоследнее денежное поступление С_n-1 проценты начисляются за один период, и оно будет в конце n-го периода равно С_n-1(1 + г). Естественно, на С_n проценты не начисляются.

Рис. 3.6. Логика решения прямой задачи для потока постнумерандо

Следовательно, наращенный денежный поток для исходного по­тока постнумерандо имеет вид:

C₁(1+r)^n-1, C₂(1+r)^n-2, …, C_n-1(1+r), C_n

и будущая стоимость FV_pst исходного денежного потока (аннуитета) постнумерандо может быть оценена как сумма наращенных поступле­ний, т.е. получаем формулу:

FVpst=

Обратная задача подразумевает оценку с позиции текущего мо­мента, т.е. на конец периода 0. В этом случае реализуется схема дис­контирования, а расчеты необходимо вести по приведенному потоку. Элементы приведенного денежного потока уже можно суммировать; их сумма характеризует приведенную, или текущую, стоимость де­нежного потока, которую при необходимости можно сравнивать с величиной первоначальной инвестиции. Схема дисконтирования для исходного потока постнумерандо имеет следующий вид (рис. 3.7).

Таким образом, приведенный денежный поток для исходного по­тока постнумерандо имеет вид:

C₁/1+r, С₂/(1+r)², …, C_n/ (1+r)ⁿ

Приведенная стоимость денежного потока постнумерандо PV_pst в общем случае может быть рассчитана по формуле

(3.16)

Рис. 3.7. Логика решения обратной задачи для потока постнумерандо

Если использовать дисконтирующий множитель, то формулу (3.16) можно переписать в следующем виде:

Пример

Рассчитать приведенную стоимость денежного потока постнуме­рандо (тыс. руб.): 12, 15,9, 25, если ставка дисконтирования r = 12%.

Год	Денежный поток (тыс. руб.)	Дисконтирующий множитель при r=12%	Приведенный поток (тыс. руб.)
		0,8929	10,71
		0,7972	11,96
		0,7118	6,41
		0,6355	15,89
			44,97

3.5.2. ОЦЕНКА ПОТОКА ПРЕНУМЕРАНДО

Для прямой задачи схема наращения будет выглядеть следу­ющим образом (рис. 3.8).

Следовательно, будущая стоимость исходного денежного потока пренумерандо FV_pre в общем виде может быть рассчитана по формуле

FVpre=

Рис. 7.8. Логика решения прямой задачи для потока пренумерандо

Очевидно, что FV_pre = FV_pst* (1+r).

Для обратной задачи схема дисконтирования может быть представ­лена следующим образом (рис. 3.9). '

Рис. 3.9. Логика решения обратной задачи для потока пренумерандо

Таким образом, приведенный денежный поток для исходного по­тока пренумерандо имеет вид:

C₁, C₂/1+r, C₃/(1+r)², …, C_n/(1+r)^n-1

Следовательно, приведенная стоимость потока пренумерандо PV_pre в общем виде может быть рассчитана по формуле:

PV_pre= (3.19)

Как и в случае с будущей стоимостью, очевидно, что PVpre= PV_pst х (1 +r). Так, если в предыдущей задаче предположить, что исходный поток представляет собой поток пренумерандо, то его приведенная стоимость будет равна:

PVpre = PVpst• (1 + г) =44,97 • 1,12 = 50,37 тыс. руб.

3.6 Оценка аннуитетов.

ОЦЕНКА АННУИТЕТОВ

3.6.1. ОЦЕНКА СРОЧНЫХ АННУИТЕТОВ

Аннуитет представляет собой частный случай денежного потока. Известны два подхода к его определению. Согласно первому подходу аннуитет представляет собой однонаправленный денежный поток, элементы которого имеют место через равные временные интервалы. Второй подход накладывает дополнительное ограничение, а именно элементы денежного потока одинаковы по величине. Если число равных временных интервалов ограничено, аннуи­тет называется срочным. В этом случае

Ci=C₂=... = С_n = А.

Как и в общем случае, выделяют два типа аннуитетов: постнуме-рандо и пренумерандо (рис. 3.10).

Аннуитет пренумерандо Аннуитет постнумерандо

Рис 7.10. Виды срочных аннуитетов

Примером срочного аннуитета постнумерандо могут служить ре­гулярно поступающие рентные платежи за пользование сданным в аренду земельным участком в случае, если договором предусматри­вается регулярная оплата аренды по истечении очередного периода. В качестве срочного аннуитета пренумерандо выступает, например, схема периодических денежных вкладов на банковский счет в начале каждого месяца с целью накопления достаточной суммы для круп­ной покупки.

Аннуитет еще называют фи­нансовой рентой, или просто рентой. Любое денежное поступление называется членом ренты, а величина постоянного временного ин­тервала между двумя последовательными денежными поступления­ми называется периодом аннуитета (периодом ренты).

Прямая задача оценки срочного аннуитета при заданных величи­нах регулярного поступления (А) и процентной ставке (г) предполага­ет оценку будущей стоимости аннуитета. Как следует из логики, при­сущей схеме аннуитета постнумерандо, наращенный денежный поток имеет вид:

A*(1+r)n-1, A*(1+r)n-2,..., A*(1+r), A

(3.20)

Входящий в формулу множитель FM3(r, n) называется мультипли­цирующим множителем для аннуитета, или коэффициентом нара­щения ренты (аннуитета), и представляет собой сумму п первых чле­нов геометрической прогрессии, начинающейся с 1, и знаменателем (1+г).

Таким образом,

FM3(r,n) = (3.21)

Экономический смысл мультиплицирующего множителя FM3(r, n) заключается в следующем: он показывает, чему будет равна суммар­ная величина срочного аннуитета в одну денежную единицу (например, один рубль) к концу срока его действия. Предполагается, что про­изводится лишь начисление денежных сумм, а их изъятие может быть сделано по окончании срока действия аннуитета. Множитель FM3(r, n) часто используется в финансовых вычислениях. Его значения зависят лишь от процентной ставки (г) и срока (и) действия аннуитета, при­чем с увеличением каждого из этих параметров величина FM3(r, n) возрастает. Значения множителя для различных сочетаний г и л мож­но табулировать (приложение 3).

Из формулы (3.20) следует, что FM3(r, л) показывает, во сколько раз наращенная сумма аннуитета больше величины денежного поступле­ния А. В связи с этим множитель FM3(r, и) называют также коэффици­ентом аккумуляции вкладов.

Пример

Вам предлагают сдать в аренду участок на три года, выбрав один из двух вариантов оплаты аренды: а) 10 тыс. руб. в конце каждого года; б) 35 тыс. руб. в конце трехлетнего периода. Какой вариант более пред­почтителен, если банк предлагает 20% годовых по вкладам?

Первый вариант оплаты как раз и представляет собой аннуитет постнумерандо при и = 3 и A=10 тыс. руб. В этом случае имеется возможность ежегодного получения арендного платежа и инвестиро­вания полученных сумм, как минимум, на условиях 20% годовых (на­пример, вложение в банк). К концу трехлетнего периода накопленная сумма может быть рассчитана в соответствии со схемой, аналогичной схеме, представленной на рис. 3.6.

Таким образом, расчет показывает, что вариант (а) более выгоден.

Общая постановка обратной задачи оценки срочного аннуитета постнумерандо также достаточно наглядна. В этом случае произво­дится оценка будущих денежных поступлений с позиции текущего момента, под которым в данном случае понимается момент времени, начиная с которого отсчитываются равные временные интервалы, вхо­дящие в аннуитет. Схема дисконтирования денежного потока на при­мере вышеприведенной задачи с арендой участка, построенная по ана­логии со схемой на рис. 3.7, представлена на рис. 3.11.

Экономический смысл сделанных расчетов состоит в следующем: с позиции текущего момента реальная стоимость данного аннуитета может быть оценена в 21,064 тыс. руб.

Общая формула для оценки текущей стоимости срочного аннуитета постнумерандо выводится из базовой формулы (3.16) и имеет вид:

(3.22)

Множитель FM4(r, n) называется дисконтирующим множителем для аннуитета, или коэффициентом дисконтирования ренты (аннуитета), и как сумма членов геометрической прогрессии равен величине:

FM4(r,n)=

Экономический смысл дисконтирующего множителя FM4(r, n) зак­лючается в следующем: он показывает, чему равна с позиции текущего момента величина аннуитета с регулярными денежными поступлени­ями в размере одной денежной единицы (например, один рубль), продолжающегося nравных периодов с заданной процентной ставкой r. Значения этого множителя также табулированы (приложение 3).

FM4 (20%,3)= 2,106, поэтому PV

PV =FV при r=0

Дисконтирующий множитель FM4(r, n) полезно интерпретировать и как величину капитала, поместив который в банк под сложную про­центную ставку г, можно обеспечить регулярные выплаты в размере одной денежной единицы в течение п периодов (выплаты произво­дятся в конце каждого периода).

Будущая сто­имость аннуитета пренумерандо может быть найдена по формуле:

FV =FV *(1+r)=A*FM3(r,n)*(1+r) (3.24)

FV (3.25)

Аналогично приведенная стоимость аннуитета пренумерандо мо­жет быть найдена по формуле

PV = PV *(1+r)= A*FM4(r,n) *(1+r) (3.26)

или

PV =A (3.27)

Из приведенных формул видно, почему в финансовых таблицах не уточняется, какая схема подразумевается в финансовой сделке — по-стнумерандо или пренумерандо; содержание финансовой таблицы инвариантно к этому фактору. Однако при применении расчетных формул или финансовых таблиц необходимо строго следить за схемой поступления денежных платежей.

Пример

Ежегодно в начале года в банк делается очередной взнос в размере 10 тыс. руб. Банк платит 20% годовых. Какая сумма будет на счете по истечении трех лет?

В данном случае мы имеем дело с аннуитетом пренумерандо, буду­щую стоимость которого и предлагается оценить. В соответствии с формулой (3.24) найдем искомую сумму S:

FV =S=10*(1+ 0,2) * FM3(20%,3) = 10*1,2*3,640=43,68 тыс. руб.

Многие практические задачи могут быть решены различными спо­собами в зависимости от того, какой денежный поток выделен анали­тиком. Рассмотрим простейший пример.

Пример

Вам предложено инвестировать 100 тыс. руб. на срок 5 лет при условии возврата этой суммы частями (ежегодно по 20 тыс. руб.). По истечении пяти лет выплачивается дополнительное вознаграждение в размере 30 тыс. руб. Принимать ли это предложение, если можно «безопасно» депонировать деньги в банк из расчета 12% годовых?

Для принятия решения необходимо рассчитать и сравнить две сум­мы. При депонировании денег в банк к концу пятилетнего периода на счете будет сумма:

F₅ = Р *(1 + r)⁵ = 100 * (1 + 0,12)⁵ = 176,23 тыс. руб.

В отношении альтернативного варианта, предусматривающего воз­мещение вложенной суммы частями, предполагается, что ежегодные поступления в размере 20 тыс. руб. можно немедленно пускать в обо­рот, получая дополнительные доходы. Если нет других альтернатив по

эффективному использованию этих сумм, их можно депонировать в банк. Денежный поток в этом случае можно представить двояко:

а)как срочный аннуитет постнумерандо с А = 20, п = 5, r = 20% и
единовременное получение суммы в 30 тыс. руб.;

б)как срочный аннуитет пренумерандо с А = 20, п = 4, r = 20% и
единовременное получение сумм в 20 и 30 тыс. руб.

В первом случае на основании формулы (7.20) имеем:

FV =S = 20 • FM3(12%,5) + 30 = 20 * 6,353 + 30 = 157,06 тыс. руб.

Во втором случае на основании формулы (7.24) имеем:

FV = S= - 20 * FM3(12%А) *1,2 + 20 + 30 = 20 * 4,779 * 1,12 + 50 = 157.06 тыс.руб.

Естественно, что оба варианта привели к одинаковому ответу. Та­ким образом, общая сумма капитала к концу пятилетнего периода бу­дет складываться из доходов от депонирования денег в банке (107,06 тыс. руб.), возврата доли от участия в венчурном проекте за после­дний год (20 тыс. руб.) и единовременного вознаграждения (30 тыс. руб.). Общая сумма составит, следовательно, 157,06 тыс. руб. Предло­жение экономически нецелесообразно.

'3.6.2. МЕТОД ДЕПОЗИТНОЙ КНИЖКИ

Логика метода депозитной книжки такова. Сумма, положенная на депозит, приносит доход в виде процентов; при снятии с депозита некоторой суммы базовая величина, с которой начис­ляются проценты, уменьшается. Как раз эта ситуация и имеет место в случае с аннуитетом. Текущая стоимость аннуитета — это величина де­позита с общей суммой причитающихся процентов, ежегодно уменьша­ющаяся на равные суммы. Эта сумма годового платежа включает в себя начисленные за очередной период проценты, а также некоторую часть основной суммы долга. Таким образом, погашение исходного долга осу­ществляется постепенно в течение всего срока действия аннуитета. Струк­тура годового платежа постоянно меняется — в начальные периоды в нем преобладают начисленные за очередной период проценты; с тече­нием времени доля процентных платежей постоянно уменьшается и по­вышается доля погашаемой части основного долга. Логику и счетные про­цедуры метода рассмотрим на простейшем примере.

Пример

В банке получена ссуда на пять лет в сумме 20 000 долл. под 13% годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашен­ный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года. Требуется определить величину годового платежа.

Если обозначить за А величину искомого годового платежа, то дан­ный финансовый контракт можно представить в виде следующей схе­мы (рис. 3.12).

Рнс. 3.12. Схема к методу депозитной книжки

Для лучшего понимания логики метода депозитной книжки целесо­образно рассуждать с позиции кредитора. Для банка данный контракт представляет собой инвестицию в размере 20 000 долл., т.е. отток де­нежных средств, что и показано на схеме. В дальнейшем в течение пяти лет банк будет ежегодно получать в конце года сумму А, причем каждый годовой платеж будет включать проценты за истекший год и часть ос­новной суммы долга. Так, поскольку в течение первого года заемщик пользовался ссудой в размере 20 000 долл., то платеж, который будет сде­лан в конце этого года, состоит из двух частей: процентов за год в сумме 2 600 долл. (13% от 20 000 долл.) и погашаемой части долга в сумме (А-2 600) долл. В следующем году расчет будет повторен при условии, что размер кредита, которым пользуется заемщик, составит уже меньшую сумму по сравнению с первым годом, а именно: (20 000 -А+2 600) долл. Отсюда видно, что с течением времени сумма уплачиваемых процен­тов снижается, а доля платежа в счет погашения долга возрастает. Из схемы на рис. 7.12 видно, что мы имеем дело с аннуитетом постнуме-рандо, о котором известны его текущая стоимость, процентная ставка и продолжительность действия. Поэтому для нахождения величины го­дового платежа А можно воспользоваться формулой (7.22):

PV 20 000 = FM4(13%,5) *А = 3,517 *А, т.е. А =5687 долл.

Динамика платежей показана в табл. 7.1. Отметим, что данные в ходе вычислений округлялись, поэтому величина процентов в после­дней строке найдена балансовым методом.

Таблица 7.1 Метод депозитной книжки

Год	Остаток ссуды на начало года	Сумма годового платежа	В том числе	Остаток ссуды на конец года
Проценты за год	Погашенная часть долга

Данная таблица позволяет ответить на ряд дополнительных воп­росов, представляющих определенный интерес для прогнозирования денежных потоков. В частности, можно рассчитать общую сумму про­центных платежей, величину процентного платежа в k-м периоде, долю кредита, погашенную в первые к лет, и т.п.

3.6.3 Оценка аннуитета с изменяющейся величиной платежа

На практике возможны ситуации, когда величина платежа меняется со временем в сторону увеличения и уменьшения. В частности, при заключении договоров аренды в условиях инфляции может предусматриваться периодическое увеличение платежа, компенсирующее негативное влияние изменения цен. Оценка аннуитета в этом случае может также выполняться путем несложных расчетов с помощью финансовых таблиц. Рассмотрим технику вычислений.

Пример

Сдан участок в аренду на десять лет. Арендная плата будет осуществляться ежегодно по схеме постнумерандо на условиях: в первые шесть лет по 10 тыс. руб., в оставшиеся четыре года по 11 тыс. руб. Требуется оценить приведенную стоимость этого договора, если процентная ставка, используемая аналитиком, равна 15%.

Общая схема денежного потока представлена на рис. 3.13.

Рис. 3.13. Аннуитет с изменяющейся величиной платежа

Рассмотрим два варианта решения из нескольких возможных.

1. Исходный поток можно представить как сумму двух аннуитетов: первый имеет А=10 и продолжается 10 лет; второй имеет А=11 и продолжается четыре года. По формуле можно оценить приведенную стоимость каждого аннуитета. Однако второй аннуитет в этом случае будет оценен с позиции начала седьмого года, поэтому полученную сумму необходимо дисконтировать с помощью формулы к началу первого года. В этом случае оценки двух аннуитетов будут приведены к одному моменту времени, а их сумма даст оценку приведенной стоимости исходного денежного потока.

PV=10*FM4(15%, 10)+FM2(15%,6)*1*FM4(15%,4)=10*5,019+2,855*1*0,432=51,42 тыс. руб.

2. Исходный поток можно представить себе как разность двух аннуитетов: первый имеет А=11 и продолжается десять лет; второй имеет А= 1 и, начавшись в первом году, заканчивается в шестом.

PV=11*FM4(15%,10)-1*FM4(15%,6)=11*5,019-1*3,784=51,42 тыс. руб.

БЕССРОЧНЫЙ АННУИТЕТ

Аннуитет называется бессрочным, если денежные поступления продолжаются достаточно длительное время. Математически это оз­начает, что n стремится к ∞. Характерным примером бессрочного аннуитета являются консоли — выпускаемые правительствами некоторых стран облигации, по которым производят регулярные купонные выплаты, но которые не имеют фиксированного срока. В западной практике к бессрочным относятся аннуитеты, рассчитанные на 50 и более лет. Бессрочный аннуитет также называют и вечной рентой.

В этом случае прямая задача (определение будущей стоимости аннуитета) не имеет смысла, однако обратная задача (определение приведенной стоимости аннуитета) имеет решение. Поток платежей в постоянном бессрочном аннуитете при одном денежном поступ­лении А за период (например, равный году), являющийся базисным для начисления процентов по ставке г, представляет собой бесконеч­но убывающую геометрическую прогрессию с первым членом А/(1 + г) и знаменателем 1/(1 + г). Для бессрочного аннуитета постнумерандо, используя формулу для определения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии или переходя в (3.22) к пре­делу при п стремится к бесконечности получим:

PV (3.28)

Формула (3.28) показывает, что поток даже с неограниченным чис­лом платежей имеет все же конечную приведенную стоимость. С фи­нансовой точки зрения это понятно, поскольку деньги, которые по­ступят через много лет, сейчас мало что стоят (а при высокой инфля­ции практически ничего не стоят).

В качестве г обычно принимается гарантиро­ванная процентная ставка (например, процент, предлагаемый госу­дарственным банком).

Пример

Определить текущую (приведенную) стоимость бессрочного анну­итета постнумерандо с ежегодным поступлением 4,2 тыс. руб., если предлагаемый государственным банком процент по срочным вкладам равен 14% годовых.

По формуле (7.28):

PV = 4,2: 0,14 = 30 тыс. руб.

Следовательно, если аннуитет предлагается по цене, не пре­вышающей 30 тыс. руб., он представляет собой выгодную инвес­тицию.

Приведенная стоимость бессрочного аннуитета пренумерандо оп­ределяется с помощью приведенной стоимости бессрочного аннуите­та постнумерандо по формуле (3.26):

PV

т.е. приведенная сто­имость бессрочного аннуитета пренумерандо отличается от таковой для постнумерандо на величину первого платежа.