2015-04-23
5061
Пусть 
непрерывна в точке 
. Если при вычислении углового коэффициента касательной
окажется
(1.4)
То будем говорить, что в точке 
график функции имеет вертикальную касательную,
задаваемую уравнением (рис.1б)
(1.5)
рис.1.б.
Пример 1. 1. Пусть на графике функции 
заданы две точки 
. Найдем уравнения:
1) Секущей прямой проходящей через точки 
2) Уравнения касательных прямых к графику проведённых
в точках .
Решение. 1) Определяем угловой коэффициент секущей прямой, проходящей через точки 
. Выписываем уравнение секущей 
или 
. Чтобы написать уравнение касательной нужно найти её угловой коэффициент. Согласно определению 1.3 угловой коэффициент касательной равен значению производной данной функции в точке касания: 
и 
. Подставляя данные в формулу (1.3), выписываем уравнения касательных
; 
С помощью касательных определяют углы между графиками функций в точке их пересечения.
Определение 1.4. Углом между графиками функций
в точке их пересечения называется угол между их касательными прямыми в этой точке рис. 2. Этот угол находим по формуле
(1.4)
По формуле (1.4) определяется острый угол между
рис.2. касательными прямыми.
Замечание. Определение производной удобнее записывать и использовать с помощью приращений.
Определение 1.5. Приращением аргумента называют разность 
и обозначают через 
. Разность 
= 
называют приращением функции.
Таким образом, определение производной можно переписать так
(1.5)
Замечание. Производные можно записывать следующими символами 
Пример 1.2. Пользуясь определением (1.5), найдите производные функций 
в точке 
.
Решение. Используя определение производной (4.5), вычисляем приращение функции в точке 
. Тогда 
.
Пользуясь определением (1.5), найдём производную функции 
.
По определению имеем 
Физический смысл производной. Пусть путь, пройденный точкой, движущейся вдоль прямой, меняется со временем по закону 
, тогда средняя скорость за период времени 
определяется как 
;
Мгновенная скорость в момент времени 
есть (по определению) предельное значение средней скорости 
;
