Вертикальные касательные к графику функции

1 2 3 4 5

Пусть непрерывна в точке . Если при вычислении углового коэффициента касательной

окажется

(1.4)

То будем говорить, что в точке график функции имеет вертикальную касательную,

задаваемую уравнением (рис.1б)

(1.5)

рис.1.б.

Пример 1. 1. Пусть на графике функции заданы две точки . Найдем уравнения:

1) Секущей прямой проходящей через точки

2) Уравнения касательных прямых к графику проведённых

в точках .

Решение. 1) Определяем угловой коэффициент секущей прямой, проходящей через точки . Выписываем уравнение секущей или . Чтобы написать уравнение касательной нужно найти её угловой коэффициент. Согласно определению 1.3 угловой коэффициент касательной равен значению производной данной функции в точке касания: и . Подставляя данные в формулу (1.3), выписываем уравнения касательных

;

С помощью касательных определяют углы между графиками функций в точке их пересечения.

Определение 1.4. Углом между графиками функций в точке их пересечения называется угол между их касательными прямыми в этой точке рис. 2. Этот угол находим по формуле

(1.4)

По формуле (1.4) определяется острый угол между

рис.2. касательными прямыми.

Замечание. Определение производной удобнее записывать и использовать с помощью приращений.

Определение 1.5. Приращением аргумента называют разность и обозначают через . Разность = называют приращением функции.

Таким образом, определение производной можно переписать так

(1.5)

Замечание. Производные можно записывать следующими символами

Пример 1.2. Пользуясь определением (1.5), найдите производные функций в точке .

Решение. Используя определение производной (4.5), вычисляем приращение функции в точке . Тогда .

Пользуясь определением (1.5), найдём производную функции .

По определению имеем

Физический смысл производной. Пусть путь, пройденный точкой, движущейся вдоль прямой, меняется со временем по закону , тогда средняя скорость за период времени определяется как ;