Использование формулы Тейлора

Разложение в ряд Тейлора

y’(t) – известна = f(t,y(t))

y”(t) = f’_t + f’_yy’ – дифференцирование сложной функции

y”’(t) = f⁽²⁾_tt + f⁽²⁾_tyy’ + (f⁽²⁾_yt + f⁽²⁾_yyy’)f + f’_y(f’_t + f’_yy’)

По мере роста порядка (р) усложняются выражения для производных. Недостаток метода Эйлера - значит-я погрешность – на практике редко используется. Желательно поправить расчетную формулу.

Пусть y(t) – решение ДУ y’(t)=f(t,y(t)), удовлетворяет условию y(t_n)=y_n

Пусть (1.3)

- угловой коэффициент секущей, проходящей через точки (t_n, y(t_n)) и (t_n+1, y(t_n+1)) графика функции y(t). Ясно, что «метод» y_n+1 = y_n + hK_n имеет нулевую локальную погрешность. Следовательно нужно научиться вычислять значение K_n. Интегрируя и используя формулу Ньютона – Лейбница приходим к равенству

(1.4)

Из (1.3) и (1.4) следует K_n =

Примечание. Для приближенного вычисления интеграла используется формула прямоугольников:

приводит к методу Эйлера.

Но больший порядок точности имеет формула трапеций:

Итого приходим к правилу трапеций:

Если подставим в правую часть значение y_n+1 «предсказанное» методом Эйлера, получим в результате метод Эйлера-Коши:

Этот метод относится к методам прогноза и коррекции.