Метод подбора частного решения неоднородного ЛДУ (5.1) с постоянными коэффициентами

И правой частью специального вида.

Любую правую часть специального вида неоднородного ЛДУ формирует число .

Выпишем общий вид правой части ЛДУ (2.1)

(3.1)

Здесь заданные многочлены степени соответственно. Частное решение, в этом случае ищется в виде

(3.2)

Здесь

с неопределёнными коэффициентами . Показатель степени зависит от

вида корней характеристического уравнения.

Обозначим .

Сведём виды частных решений для различных правых частей специального вида в таблицу.

Таблица 1.

№	Правая часть	Корни характеристического уравнения	Вид частного решения
I
,кратности
II
,кратности
III
,кратности	()
IV	[ ]		[ ]
,кратности	[ ]

Пример 1. Найти частное решение неоднородного ЛДУ .

Решение. Правая часть ЛДУ является многочленом первой степени

Следовательно .

1 шаг. Находим корни характеристического уравнения . Ни один из корней не совпадает с . Согласно таблице 1, ищем частное решение в виде с неизвестными коэффициентами . Чтобы их определить подставляем в уравнение и подбираем так, чтобы стало решением

.

2 шаг. Отсюда .

Ответ:

Пример 2. Найти частное решение неоднородного ЛДУ .

Решение. Правая часть ЛДУ является многочленом первой степени Следовательно .

1 шаг. Находим корни характеристического уравнения .

Один корень совпадает с . Согласно таблице 1, ищем частное решение в виде

с неизвестными коэффициентами . Чтобы их определить подставляем в уравнение и подбираем так, чтобы стало

решением .

2 шаг.

Отсюда

Ответ: .

Пример 3. Найти частное решение неоднородного ЛДУ .

Решение. По виду правой части определяем .

1 шаг. Находим корни характеристического уравнения .

Ни один из корней не совпадает с . Согласно таблице 1, ищем частное решение в

виде с неизвестным коэффициентом . Чтобы

его определить подставляем в уравнение и подбираем так, чтобы стало

решением .

2 шаг. Определяем

Отсюда

Ответ: .

Пример 4. Найти частное решение неоднородного ЛДУ .

Решение. .

1 шаг. Находим корни характеристического уравнения .

Один из корней совпадает с . Согласно таблице 1, ищем частное решение в

виде с неизвестным коэффициентом . Чтобы

его определить подставляем в уравнение и подбираем так, чтобы стало

решением .

2 шаг.

Ответ: .

Пример 5. Найти частное решение неоднородного ЛДУ .

Решение. .

1 шаг. Находим корни характеристического уравнения .

Оба корня совпадают с . Согласно таблице 1, ищем частное решение в

виде с неизвестным коэффициентом . Чтобы

его определить подставляем в уравнение и подбираем так, чтобы стало

решением .

2 шаг.

Ответ: .

Пример 6. Найти частное решение неоднородного ЛДУ .

Решение. Правая часть ЛДУ имеет вид ,

Следовательно .

1 шаг. Находим корни характеристического уравнения .

Ни один из корней не совпадает с . Согласно таблице 1, ищем частное решение в

виде , где . Числа неизвестны. Чтобы

их определить подставляем в уравнение и подбираем так, чтобы стало

решением .

2 шаг. . Дифференцируя, получаем

;

. Последнее равенство будет выполнено, тогда и только тогда если . Откуда .

Ответ: .

Пример 7. Найти частное решение неоднородного ЛДУ .

Решение. Правая часть ЛДУ имеет вид .Следовательно

1 шаг. Находим корни характеристического уравнения .

Один корень совпадает с . Согласно таблице 1, ищем частное решение в

виде .Здесь . Числа неизвестны. Чтобы их определить подставляем в уравнение и подбираем так, чтобы стало решением . Имеем

, ,

2 шаг.

Приводя подобные слагаемые, получаем .

Сокращая обе части равенства на , будем иметь . Чтобы получилось тождество, нужно

решить систему уравнений Решая систему, получаем .

Ответ: .