Исходные понятия

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО МОРСКОГО И РЕЧНОГО

ТРАНСПОРТА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ВОДНЫХ КОММУНИКАЦИЙ»

М.Ю. Ястребов

МАТЕМАТИКА

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Санкт-Петербург

УДК

ББК

Рецензенты: к. ф.-м.н., доцент

Кузнецов В.О.,

К. ф.-м.н., доцент

Гулевич Н.М.

Ястребов М.Ю.

Дифференциальные уравнения: учебное пособие.-СПб:СПГУВК, 2011 - 34 с.

Предназначено для студентов технических и информационных специальностей.

Содержание соответствует рабочей программе дисциплины «Математика».

Печатается по решению редакционно-издательского совета Санкт-Петербургского государственного университета водных коммуникаций.

УДК

ББК

©Санкт-Петербургский государственный

Университет водных коммуникаций, 2012

ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ

Определение. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение вида

, (1)

связывающее независимую переменную , неизвестную функцию и ее производные различных порядков.

Функция предполагается заданной на некотором промежутке (который также, как правило, не задан изначально и подлежит определению вместе с ).

Замечание. В отличие от дифференциальных уравнений вида (1), в которых искомая функция зависит только от одной переменной, уравнения, связывающие неизвестную функцию нескольких независимых переменных и ее частные производные различных порядков, называются уравнениями в частных производных, или уравнениями математической физики.

Например, уравнение теплопроводности описывает изменение температуры тела в каждой его точке в зависимости от времени :

.

В дальнейшем, говоря о дифференциальных уравнениях, мы будем иметь ввиду обыкновенные дифференциальные уравнения.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Таким образом уравнение (1) задает дифференциальное уравнение -го порядка.

Напомним, что под промежутком понимается любой из возможных промежутков, содержащий или не содержащий граничные точки: .

Определение. Решением дифференциального уравнения (1) на промежутке называется функция , дифференцируемая раз и обращающая его на в тождество (то есть в равенство, верное при всех ).