Комбинированное применение методов хорд и касательных

Пусть требуется вычислить действительный корень уравнения f(x) = 0, изолированный на отрезке [a; b]. Предполагается, что f (a) и f(b) имеют разные знаки (т.е. f (a) f(b) < 0), а каждая из производных сохраняет определенный знак на отрезке изоляции. Возьмем на отрезке [a; b] такую точку х_0, такую, что имеет тот же знак что и , т.е. выполняется условие:

>0.

Воспользуемся способами хорд и касательных:

Величины х₁₁ и х₁₂ принадлежат промежутку изоляции, причем и имеют разные знаки.

Построим новую пару приближений к корню:

Точки х₂₁ и х₂₂ на числовой оси между точками х₁₁ и х₁₂, причем и имеют разные знаки.

и т. д. Каждая из последовательностей:

х_11, х_21, х₃₁ .............

х_12, х_22, х₃₂ .............

стремится к искомому корню, причем одна из последовательностей монотонно возрастает, а другая монотонно убывает.

Пример 1.4:

Комбинируя способы хорд и касательных найти приближенное значение корня уравнения

х³ + х² -11 = 0, изолированного в промежутке (1; 2) с точностью до 0,001.