Метод исследования отрезков

Теорема 1. Если на отрезке [a; b] функция у = f(x) непрерывна, сохраняет свой знак (является монотонной), а значения f(x) на концах этого отрезка имеют разные знаки, то на этом отрезке имеется один и только один корень уравнения.

Пример 1.1 Отделить корни уравнения х³ + х – 4 = 0.

Решение.

I способ (графический метод):

Рассмотрим уравнение х³ + х – 4 = 0. Придадим заданному уравнению вид х³ = - х + 4 и построим графики функций у = х³ и у = - х + 4. Эти графики пересекаются в точке, которая принадлежит интервалу (1; 2) (рис 1.2).

II способ (исследование отрезков):

В данном случае f(x)= х³ + х – 4, = 3х² + 1. Так как >0 при всех х, то функция f(x) возрастает на промежутке . Корень считается отделенным, если указан конечный промежуток на котором он находится. Методом проб находим отрезок [a; b], для которого f (a) f(b) < 0. Для этого вычислим значения функции при некоторых значениях аргумента: f (0) = -4<0, f (1) = -2 < 0, f (2) = 6 > 0. Поскольку f (0) f(1) > 0, то на отрезке [0; 1] корней нет; так как f (1) f(2) < 0, то корень уравнения находится на отрезке [1; 2].