2015-05-14
603
Найти общее решение неоднородной линейной системы
с помощью фундаментальной системы решений соответствующей однородной системы.
Решение.
Убедимся в том, что система совместна:
~ 
~ 
~
~ 
.
Итак, r (A) = r (A 1) = 2 – система совместна.
Составим по преобразованной матрице однородную систему:
и найдем для нее фундаментальную систему решений:
,
.
Фундаментальная система решений может быть выбрана так:
, 
, 
.
Теперь найдем какое-нибудь частное решение неоднородной системы
.
Положим х 3 = х 4 = х 5 = 0, тогда 
. Следовательно,
, и общее решение системы имеет вид:
, где с 1, с 2, с 3 – произвольные постоянные.
ТЕМА 1. Пределы функций
Для определения пределов последовательностей и функций используются некоторые известные приемы:
1. Если необходимо найти предел
,
можно предварительно привести к общему знаменателю
.
Поделив на член, имеющий максимальную степень, получим в числителе постоянную величину, а в знаменателе – все члены, стремящиеся к 0,то есть
.
2. Аналогично, для примера 
3. 
в этом пределе, если подставить x=a, то получится неопределенность, которую можно преодолеть, если разложить разность кубов в знаменателе 
, а числитель в виде: 
.
Тогда 
и подставив x=a, получим: 
;
4. 
, при подстановке х=0, получим 
.
5. Однако, если необходимо найти предел рациональной функции
, то при делении на член с минимальной степенью, получим
; и, устремив х к 0, получим: 
Если в пределах содержатся иррациональные выражения, то приходится вводить новые переменные для получения рационального выражения, или же переводить иррациональности из знаменателя в числитель и наоборот.
6. 
; Сделаем замену переменной. Заменим 
, при 
, получим 
.
7. 
. Если числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, то предел не изменится. Умножим числитель на 
и разделим на это же выражение, чтобы предел не изменился, а знаменатель умножим на 
и разделим, на это же выражение. Тогда получим:
Для определения пределов часто используются замечательные пределы:
; (1)
. (2)
8. 
.
Для вычисления такого предела сведем его к 1-му замечательному пределу (1). Для этого умножим и разделим числитель на 
, а знаменатель на 
, тогда 
.
9. 
Для вычисления этого предела сведем его ко второму замечательному пределу. С этой целью из рационального выражения в скобках выделим целую часть и представим ее в виде правильной дроби. Так поступают в тех случаях, когда 
, где 
, а 
, где 
;
, а 
, то окончательно 
. Здесь использовалась непрерывность композиции непрерывных функций.
ТЕМА 2. Производная
Производной от функции 
называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:
, или 
.
Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке х, то есть 
.
Производная есть скорость изменения функции в точке х.
Отыскание производной называется дифференцированием функции.
Формулы дифференцирования элементарных функций:
 |
ТЕМА 3. Основные правила дифференцирования
Пусть 
, тогда:
7) Если 
, то есть 
, где 
и 
имеют производные, то 
(правило дифференцирования сложной функции).
Примеры:
ТЕМА 4. Логарифмическое дифференцирование
Если требуется найти 
из уравнения 
, то можно:
а) логарифмировать обе части уравнения
;
б) дифференцировать обе части полученного равенства, где 
есть сложная функция от х,
.
в) заменить 
его выражением через х
.
Пример: 
ТЕМА 5. Дифференцирование неявных функций
Пусть уравнение 
определяет как неявную функцию от х.
а) продифференцируем по х обе части уравнения , получим уравнение первой степени относительно ;
б) из полученного уравнения выразим .
Пример: 
.
ТЕМА 6. Дифференцирование функций, заданных
