параметрически

Пусть функция задана параметрическими уравнениями ,

тогда , или

Пример:

ТЕМА 7. Приложение производной

Пусть и , где -угол, образованный с положительным направлением оси ОХ касательной к кривой в точке с абсциссой .

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:

, где -производная при .

Нормалью к кривой называется прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания.

Уравнение нормали имеет вид

.

Угол между двумя кривыми и в точке их пересечения называется угол между касательными к этим кривым в точке . Этот угол находится по формуле

.

ТЕМА 8. Производные высших порядков

Если есть производная от функции , то производная от называется второй производной, или производной второго порядка и обозначается , или , или .

Аналогично определяются производные любого порядка:производная третьего порядка ; производная n-го порядка:

.

Для произведения двух функций можно получить производную любого n-го порядка, пользуясь формулой Лейбница:

Пример:

1)

ТЕМА 9. Вторая производная от неявной функции

-уравнение определяет , как неявную функцию от х.

а) определим ;

б) продифференцируем по х левую и правую части равенства ,

причем, дифференцируя функцию по переменной х, помним, что есть функция от х:

;

в) заменяя через , получим: и т.д.

Пример:

ТЕМА 10. Производные от функций, заданных параметрически

Пример:

Найти если .

ТЕМА 11. Дифференциалы первого и высших порядков

Дифференциалом первого порядка функции называется главная, линейная относительно аргумента часть. Дифференциалом аргумента называется приращение аргумента: .

Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента:

.

Основные свойства дифференциала:

где .

Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то и .

Таким образом, дифференциал функции может применяться для приближенных вычислений.

Дифференциалом второго порядка функции называется дифференциал от дифференциала первого порядка: .

Аналогично: .

.

Если и - независимая переменная, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам

.

Пример.

Найти дифференциалы первого и второго порядков функции

ТЕМА 12. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя

Все вышеперечисленные пределы не использовали аппарат дифференциального исчисления. Однако, если необходимо найти

и при обе эти функции бесконечно малые или обе бесконечно большие, то их отношение не определено в точке и, следовательно, представляет собой неопределенность типа или соответственно. Поскольку это отношение в точке может иметь предел, конечный или бесконечный, то нахождение этого предела называется раскрытием неопределенности (правило Лопиталя Бернули),

и имеет место следующее равенство:

, если и .

1. (здесь имеет место неопределенность типа )=

= .

Аналогичное правило имеет место, если и , т.е. .

2. (неопределенность типа )

=

= .

Правило Лопиталя позволяет также раскрывать неопределенности типа и . Для вычисления , где - бесконечно малая, а - бесконечно большая при (раскрытие неопределенности типа ) следует преобразовать произведение к виду

(неопределенность типа ) или к виду (неопределенность типа ) и далее использовать правило Лапиталя.

3.

Для вычисления , где и - бесконечно большие при (раскрытие неопределенности типа ) следует преобразовать разность к виду , затем раскрыть неопределенность типа . Если , то .

Если же , то получается неопределенность типа (), которая раскрывается аналогично примеру 12).

4. .

Так как , то получим в итоге неопределенность типа и далее имеем

.

Правилом Лопиталя можно пользоваться также для раскрытия неопределенностей типа . В этих случаях имеется в виду вычисление предела выражения , где в случае есть бесконечно малая, в случае - бесконечно большая, а в случае - функция, предел которой равен единице.

Функция в первых двух случаях является бесконечно малой, а в последнем случае – бесконечно большой функцией.

Прежде чем искать предел таких выражений, их логарифмируют, т.е. если , то , затем находят предел , и после чего находят предел . Во всех перечисленных случаях является неопределенностью типа , которую раскрывают аналогично примеру 12).

5.

(воспользуемся правилом Лопиталя)=

= .

В этом произведении пределов первый равен 1, второй сомножитель представляет собой первый замечательный предел и он тоже равен 1, а последний сомножитель стремится к 0, следовательно:

и тогда .

6.

= ;

.

7. ;

= ;

.

8. ;

= ;

.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шипачев, В. С. Высшая математика: учеб. пособие для бакалавров / В.С. Шипачев; под ред. А.Н. Тихонова. - 8-е изд., перераб. и доп. - М.: Юрайт, 2013. - 447 с.

2. Ильин, В. А. Высшая математика: учебник / В. А. Ильин, А. В. Куркина; Моск. гос. ун-т им. М.В. Ломоносова. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Проспект, 2012. - 608 с.

3. Сборник задач по высшей математике. 2 курс / К.Н. Лунгу, В.П. Норин, Д.Т. Письменный и др.; под ред. С.Н. Федина. - 7-е изд. - М.: Айрис-пресс, 2009. - 592 с