double arrow

Доказательство. Поскольку любая скобка в этой сумме больше нуля, то последовательность {S2n} возрастающая


Построим S2n = U1 - U2 + U3 - U4 + ... + U2n-1 - U2n = (U1 - U2) +

+ (U3 - U4) + ... + (U2n-1 - U2n).

Поскольку любая скобка в этой сумме больше нуля, то последовательность {S2n} возрастающая. Докажем, что она ограниченная. Для этого представим S2n следующим образом:

S2n = U1 - [(U2 - U3) + (U4 - U5) + ... + (U2n-2 - U2n-1) + U2n] < U1

Итак, последовательность {S2n} монотонно возрастающая, ограниченная и, следовательно, сходящаяся. Пусть .

Чтобы доказать сходимость ряда, нужно доказать еще, что последовательность частичных сумм нечетного числа членов этого ряда также сходится и имеет предел, равный S.

Так как S2n+1 = S2n + U2n+1 и U2n+1  0 (по условию), то

Заметим, что для суммы S ряда (1) справедливо соотношение 0<S<U1. Действительно, частные суммы четных номеров S2n приближаются к сумме S, возрастая, следовательно, S>S2n при любом n. Кроме того, S2n>0 (n=1, 2, ...), а значит и S>0. Частичные суммы нечетных номеров S2n+1 можно записать в виде:

S2n+1 = U1 - (U2 - U3) - ... - (U2n - U2n+1).

Отсюда видно, что последовательность {S2n+1} монотонно убывающая и что S2n+1<U1 при любом n. Так как S<S2n+1 при любом n, то, следовательно, S<U1. Суммируя сказанное, получаем: 0<S<U1.

Рассмотрим теперь остаток ряда, умноженный на (-1)n




(-1)n r n= Un+1 - Un+2 + ...

Это ряд. По доказанному ряд сходится и его сумма не превосходит первого члена, то есть rn < Un+1.

Теорема доказана.







Сейчас читают про: