Теорема

Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов, причем сумма ряда не зависит от порядка его членов.

Если ряд сходится условно, то какое бы мы ни задали число А, или символ +  или - , можно так переставить члены этого ряда, чтобы его сумма оказалась в точности равной А (или +  или - ). Более того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, что ряд, полученный после перестановки членов, окажется расходящимся.

На доказательстве этой теоремы мы не будем останавливаться.

Приведем пример, показывающий, что сумма условно сходящегося ряда меняется при перестановке его членов.

Рассмотрим условно сходящийся ряд

. (8.4)

Переставим его члены так, чтобы после одного положительного члена шло два отрицательных. Получим ряд

(8.5)

Обозначим через S сумму данного ряда, покажем, что сумма полученного ряда равна . Обозначим через S_n и _n частичные суммы рядов (8.4) и (8.5) и рассмотрим частичную сумму _n при n = 3k.

Следовательно, .

Далее замечаем, что

Таким образом, .

Итак, доказано, что в результате перестановки членов ряда его сумма изменилась (она вдвое уменьшилась).

Этот вывод, который на первый взгляд кажется парадоксальным, говорит о том, что бесконечные ряды отличаются по своим свойствам от сумм конечного числа слагаемых.