Примеры

Разложить в ряд Маклорена функцию е^х.

Найдем производные (е^х)⁽ⁿ⁾ = e^x, поэтому при х=0 имеем

f(0) = f`(0) =... = f⁽ⁿ⁾(0) =... = 1. Подставляя эти значения в формулу (11.3), получим искомое разложение

(11.4)

Этот ряд сходится на всей числовой прямой, и R=.

Разложить в ряд Маклорена функцию f(x) = sin x.

f(x) = sin x, f`(x) = cos x, f``(x) = - sin x, f```(x) = -cos x, f^IV(x) = sin x.

Так как производная четвертого порядка совпадает с функцией, то производные следующих порядков повторяются в той же последовательности. Найдем значения функции и ее производных при х=0:

f(0)=0, f`(0)=1, f``(0)=0, f```(0)= -1, f^IV(0)=0,....

Поэтому ряд Маклорена для функции f(x) = sin x имеет вид

. (11.5)

Аналогично

.

Можно доказать, что ряды (11.5) и (11.6) сходятся на всей числовой прямой.

Перечень основных понятий: Числовые ряды. Сходимость положительных рядов. Теоремы сравнения рядов. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак Коши-Маклорена. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость рядов. Функциональные ряды. Теорема Абеля.

Ключевые моменты: Числовые ряды. Основные понятия. Основные теоремы. Сходимость положительных рядов. Теоремы сравнения рядов. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак Коши-Маклорена. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость рядов. Функциональные ряды. Теорема Абеля. Свойства степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды.

Вопросы к самопроверке:

1. Числовые ряды. Основные понятия. Основные теоремы.

2. Сходимость положительных рядов.

3. Теоремы сравнения рядов.

4. Признаки Даламбера и Коши.

5. Интегральный признак Коши-Маклорена.

6. Знакопеременные ряды.

7. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость рядов.

8. Функциональные последовательности и ряды.

9. Функциональные ряды. Теорема Абеля.

10. Свойства степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды.

Рекомендуемая литература:

1. Кремер Б.А. Высшая математика для экономистов. Учебник для ВУЗов. М.: Банки и бирж, ЮНИТИ, 1998 г. С. 356-396.

2. Зорич В.А. Математический анализ, Т.1. М., “Наука”, 1981.

3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М., “Наука”, 1980.

4. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ, Т.1, М., “Высшая школа”, 1981.

5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1, М., “Наука”, 1980.

6. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М., “Наука”, 1979.

7. Берман Г.Н. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.