Разложение функций в степенные ряды

Пусть дана функция f(x), которую требуется разложить в степенной ряд, т. е. представить в виде

f(x) = a₀ + a₁ x + a₂ x² +... + a_n xⁿ +.... (11.1)

Задача состоит в определении коэффициентов a_n (n=0, 1, 2,...) ряда (5.1). Для этого продифференцируем равенство (5.1) почленно, последовательно получаем:

(5.2)

Полагая в этих равенствах (5.2) х=0, найдем

f(0) = a₀, f`(0) = a₁, f``(0) = 2!  a₂, f```(0) = 3!  a₃,...,

f⁽ⁿ⁾(0) = 1  2  3 ...  (n-2)  (n-1)  n a_n=n!  a_n.

Тогда .

Подставляя значения найденных коэффициентов a_n в равенство (5.2), получим

(5.3)

Это разложение функции f(x) в ряд называется рядом Маклорена.