Признаки сходимости для знакопеременных функций

Формулировки приводятся для интегралов вида , но легко распространяются и на несобственные интегралы других типов.

Определение 3. Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .

Определение 4. Если интеграл сходится, а интеграл – расходится, то интеграл называется условно сходящимся.

Теорема. Если сходится абсолютно, то он сходится.

Признак Дирихле. Несобственный интеграл сходится, если выполняются следующие условия:

1) функция дифференцируема и монотонно стремится к нулю с ростом ;

2) функция непрерывна и имеет ограниченную первообразную.

Примеры функций с ограниченной первообразной: , , .

Признак Абеля. Несобственный интеграл сходится, если выполняются следующие условия:

1) функция непрерывна на и сходится;

2) функция ограничена, непрерывно дифференцируема и монотонна на .

Утверждение. Если сходится интеграл , то абсолютно сходятся интегралы и .

Пример 7. Интеграл Френеля сходится, так как

.

Пример 8. Интеграл Дирихле сходится условно.

– расходится, так как . Первый интеграл суммы сходится. Рассмотрим второй интеграл:

,

.

Интеграл – сходится по признаку Дирихле:

.