Стационарные модели временных рядов: авторегрессии, скользящего среднего АРСС

1) Проц авторегрессии порядка pназывается случ ряд вида:

x(k) - μ = a₁*[x(k-1) - μ] + a₂*[x(k-2) - μ] +...+ a_p*[x(k-p) - μ] + ε(k)где: x(k) - k-ое значение временного ряда; a_1, a_2,..., a_p - коэффициенты процесса авторегрессии; μ - математическое ожидание временного ряда; ε(k) - k-ое значение непрогнозируемого временного ряда ("белый шум").

Значение временного ряда определяется p предыдущими значениями ряда плюс значение случайной составляющей. Для более компактной записи моделей временных рядов используют оператор сдвига Z:

x(k-1) = Z*x(k); x(k-2) = Z²*x(k);... x(k-p) = Z^p*x(k)

С использованием оператора сдвига процесс авторегрессии порядка p может быть представлен следующим образом:

(1 -a₁*Z - a₂*Z² -... -a_p*Z^p)*[x(k) - μ] = ε(k) где(1 -a₁*Z - a₂*Z² -... -a_p*Z^p) называют оператором авторегрессии порядка pи обозначают: АР(p) (AR(p)). Таким образом, для процесса авторегрессии порядка p имеем:

AR(p)*[x(k) - μ] = ε(k)

2) Проц скользящего среднего порядка qназ-сяслуч ряд вида:

x(k) - μ = ε(k) - c₁*ε(k-1) - c₂*ε(k-2) -... - c_q*ε(k-q)

С использованием оператора сдвига:

x(k) - μ = (1 - c₁*Z - c₂*Z² -... -c_q*Z^q)*ε(k)

выражение (1 - c₁*Z - c₂*Z² -... -c_q*Z^q) называют оператором скользящего среднего порядка q и обозначают: СС(q)(MA(q)). Таким образом, для процесса скользящего среднего порядка q имеем:

x(k) - μ = СС(q)*ε(k)

Теоретически любой ряд можно представить как авторегрессией, так и процессом скользящего среднего. Однако можно показать, что если процесс является авторегрессией, то при адекватном представлении его процессом скользящего среднего требуется бесконечный порядок q. Точно также если процесс является скользящим средним, то при адекватном представлении его авторегрессией порядок p должен быть бесконечным. Покажем это свойство на следующем простом примере. Пусть временной ряд соответствует авторегрессии первого порядка: (1 - a*Z)*[x(k) - μ] = ε(k), тогда представление ряда процессом скользящего среднего имеет вид: [x(k) - μ] = ε(k)*(1 - a*Z)^-1. Составляющая (1 - a*Z)^-1 является суммой бесконечной геометрической прогрессии с показателем a*Z.Это означает, что модель имеет вид:

[x(k) - μ] = ε(k)*(1 + a*Z + a²*Z² + a³*Z³ + a⁴*Z⁴ +...) или

[x(k) - μ] = ε(k) + a*ε(k-1) + a²*ε(k-2) + a³*ε(k-3) + a⁴*ε(k-4) +...

Аналогично если временной ряд - процесс скользящего среднего первого порядка: x(k) - μ = ε(k) - c*ε(k-1), то при представлении его авторегрессией получим:

1 + c*[x(k-1) - μ] + c²*[x(k-2) - μ] + c³*[x(k-3) - μ] + c⁴*[x(k-4) - μ] +... = ε(k).

Очевидно, что в практических приложениях реализовать модель бесконечного порядка невозможно. Более того желательно, что бы число коэффициентов в модели было минимально. Этому требованию соответствуют смешанные модели - модели авторегрессии-скользящего среднего (APCC):

x(k) - μ = a₁*[x(k-1) - μ] + a₂*[x(k-2) - μ] +...+ a_p*[x(k-p) - μ] - c₁*ε(k-1) - c₂*ε(k-2) -... - c_q*ε(k-q)+ ε(k)

В общем виде, с использованием оператора сдвига смешанная модель, содержащая авторегрессию порядка p и скользящее среднее порядка q, записывается так:

АР(p)*[x(k) - μ] = СС(q)*ε(k)

или совсем кратко: АРСС(p,q) (в англоязычной версии ARMA(p,q)). Например, АРСС(1,1) имеет вид:

x(k) - μ = a₁*[x(k-1) - μ] - c₁*ε(k-1) + ε(k).

Иногда возникает вопрос о практическом использовании составляющей скользящего среднего. Откуда взять ε(k-1), ε(k-2), ε(k-3)? Пусть построенная модель является моделью скользящего среднего первого порядка: x(k) - μ = ε(k) - c₁*ε(k-1), тогда прогноз по модели будет вычисляться по формуле:

x(k) = μ - c₁*ε(k-1),

где x(k) - прогноз по модели k-ого значения временного ряда.

Очевидно, что если модель адекватна, то ε(k-1) = x(k) - x(k-1), тогда формула для вычисления значения прогноза примет вид:

x(k) = μ - c₁*[x(k) - x(k-1)]

Иными словами прогноз составляющей скользящего среднего включает в себя (в зависимости от порядка q) значения прогнозов для предыдущих значений временного ряда.