Решение. 1.Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу 2.3

1. Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу 2.3.

Таблица 2.3

По формулам (2.5) находим параметры регрессии

Получено уравнение регрессии:

Параметр регрессии позволяет сделать вывод, что с увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,92 руб. (или 92 коп.).

После нахождения уравнения регрессии заполняем столбцы 7–10 таблицы 2.3.

2. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции (2.6):

Т.к. значение коэффициента корреляции больше 0,7, то это говорит о наличии весьма тесной линейной связи между признаками.

Коэффициент детерминации:

Это означает, что 52% вариации заработной платы (y) объясняется вариацией фактора x – среднедушевого прожиточного минимума.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации (2,7):

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 10%.

3. Оценку статистической значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F -критерия Фишера. Фактическое значение F - критерия по формуле (2.9) составит

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы k₁ =1 и k₂ =12 - 2 =10 составляет F_табл = 4,96. Так как F_факт =10,41> F_табл = 4,96, то уравнение регрессии признается статистически значимым.

Оценку статистической значимости параметров регрессии и корреляции проведем с помощью t -статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из параметров.

Табличное значение t -критерия для числа степеней свободы и уровня значимости = 0,05 составит t_табл = 2,23.

Определим стандартные ошибки m_a, m_b, (остаточная дисперсия на одну степень свободы ):

Тогда

Фактические значения t -статистики превосходят табличное значение:

поэтому параметры a, b и r_xy не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии a и b. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

Доверительные интервалы

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью p =1-α = 0,95 параметры a и b, находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. являются статистически значимыми и существенно отличны от нуля.

4. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит: руб., тогда индивидуальное прогнозное значение заработной платы составит: руб.

5. Ошибка прогноза составит, согласно уравнения 2.13:

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

Доверительный интервал прогноза:

Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы является надежным (p =1-α =1- 0,05 = 0,95) и находится в пределах от 131,92 руб. до 190,66 руб.

6. В заключение решения задачи построим на одном графике исходные данные и теоретическую прямую (рис. 2.1):